3. Zadatak

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ nultočke polinoma $P(x)$. Iz uvjeta zadatka slijedi da je $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$.

Iz Vièteovih formula slijedi $c=-z_1z_2z_3$, odakle je

$$|c|=|z_1||z_2||z_3|=1.$$

Također iz Vièteovih formula slijedi $a=-(z_1+z_2+z_3)$ i $b=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3$, pa je

$$\begin{aligned} -\overline a&=\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}\\ &=\frac{|z_1|^2}{z_1}+\frac{|z_2|^2}{z_2}+\frac{|z_3|^2}{z_3}\\ &=\frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}\\ &=\frac{z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2}{z_1z_2z_3}\\ &=-\frac bc. \end{aligned}$$

Uspoređujući apsolutne vrijednosti, dobivamo

$$|a|=|-\overline a|=\left|-\frac bc\right|=\frac{|b|}{|c|}=|b|.$$

Sada polinom $Q(x)$ možemo zapisati kao

$$\begin{aligned} Q(x)&=x^3+|a|x^2+|a|x+1\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+|a|x(x+1)\\ &=(x+1)(x^2+(|a|-1)x+1). \end{aligned}$$

Očito je $-1$ jedna nultočka polinoma $Q(x)$ (i njezina apsolutna vrijednost jest $1$), a druge dvije su rješenja kvadratne jednadžbe $x^2+tx+1=0$, gdje je $t:=|a|-1$.

Iz nejednakosti trokuta slijedi da je $|a|=|z_1+z_2+z_3|\leq|z_1|+|z_2|+|z_3|=3$. Dodatno s $|a|\geq0$, zaključujemo $-1\leq t\leq2$.

Diskriminanta kvadratne jednadžbe $x^2+tx+1=0$ je $t^2-4$, što je nepozitivan broj (zbog $t\in[-1,2]$). Njezina rješenja stoga iznose

$$\frac{-t\pm i\sqrt{4-t^2}}2.$$

Za njihove apsolutne vrijednosti računamo

$$\left|\frac{-t\pm i\sqrt{4-t^2}}2\right|^2=\left(\frac{-t}2\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4-t^2}}2\right)^2=\frac{t^2+4-t^2}4=1.$$

Dobili smo da sve tri nultočke polinoma $Q(x)$ imaju apsolutnu vrijednost jednaku $1$, što je i trebalo dokazati.