1. Zadatak

Prvo rješenje.

Za $n=1$ dobijemo $2=m^3+37$, što očito ne može vrijediti ni za koji prirodan broj $m$.

Za $n=2$ dobijemo $4=m^3+37$, što također ne može vrijediti.

Slijedi da je $n\geq3$. Budući da je u tom slučaju $n!$ djeljivo s $3$, izraz $2^{n!}$ je kub prirodnog broja, što znači da je i $m^3+37$ također kub prirodnog broja.

Kako je $2^{n!}=m^3+37>m^3$, mora vrijediti $2^{n!}\geq(m+1)^3$, tj.

$$m^3+37\geq(m+1)^3\implies m^2+m\leq12.$$

Zadnju nejednakost zadovoljavaju samo prirodni brojevi manji od ili jednaki $3$.

Za $m=1$ je $m^3+37=38$, što nije kub prirodnog broja.

Za $m=2$ je $m^3+37=45$, što također nije kub prirodnog broja.

Za $m=3$ je $m^3+37=64=2^6$, pa slijedi $n!=6$, tj. $n=3$.

Dakle, jedino rješenje je $m=3$, $n=3$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, zaključujemo da je $n\geq3$ i stoga $2^{n!}$ mora biti kub prirodnog broja. Označimo taj kub s $N^3$.

Ako prebacimo $m^3$ na lijevu stranu jednadžbe, dobit ćemo razliku kubova, pa će vrijediti

$$(N-m)(N^2+Nm+m^2)=37.$$

Budući da je $37$ prost broj, a $N^2+Nm+m^2\geq3$ (jer su $N$ i $m$ prirodni brojevi), jedina mogućnost je

$$N-m=1\qquad\text{i}\qquad N^2+Nm+m^2=37.$$

Iz prve jednadžbe slijedi $N=m+1$, iz čega uvrštavanjem u drugu jednadžbu dobijemo

$$(m+1)^2+m(m+1)+m^2=37,\qquad\text{tj.}\qquad m^2+m-12=0.$$

Rješenja gornje kvadratne jednadžbe su $3$ i $-4$, ali budući da je $m$ prirodan broj, uzimamo u obzir samo rješenje $m=3$. Za $m=3$ je $m^3+37=64=2^6$, pa slijedi $n!=6$, tj. $n=3$.

Dakle, jedino rješenje je $m=3$, $n=3$.