3. Zadatak

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a,b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^2-ax+b=0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^2-bx+(5a-5)=0$ dva različita složena prirodna broja.

Prvo rješenje.

Označimo rješenja prve jednadžbe $p$ i $q$ , a rješenja druge jednadžbe $m$ i $n$ .

Prema Vièteovim formulama vrijedi $p+q=a$ i $pq=b$ .

Iz Vièteovih formula imamo i $m+n=b$ te $mn=5a-5$ .

Pretpostavimo prvo da su $p$ i $q$ oba neparni.

Iz toga slijedi da je $a$ paran broj, a $b$ neparan.

Kako je $b$ neparan, iz $b=m+n$ slijedi da je jedan od brojeva $m$ i $n$ paran, a drugi neparan. Međutim, tada bi njihov umnožak bio paran. Kako je $5a-5$ neparan broj, dolazimo do kontradikcije. Prema tome, $p$ i $q$ ne mogu biti oba neparni.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo $q=2$ . Tada je

m+n=b=2p,\qquad mn=5a-5=5(2+p)-5=5p+5.

Množenjem druge jednakosti s $2$ i uvrštavanjem $2p=m+n$ dobivamo

2mn=5m+5n+10.

Množenjem ove jednakosti s $2$ dobivamo

4mn=10m+10n+20,

odnosno

(2m-5)(2n-5)=45.

Bez smanjenja općenitosti neka je $m\leq n$ . Broj $45$ na tri načina možemo napisati kao umnožak dva prirodna broja, kao $1\cdot45$ , $3\cdot15$ ili $5\cdot9$ . Dakle, preostaje provjeriti tri slučaja.

U prvom slučaju imamo $2m-5=1$ , $2n-5=45$ , odakle je $m=3$ , što nije složen broj. U drugom slučaju je $2m-5=3$ , $2n-5=15$ , gdje za rješenje dobivamo složene brojeve $m=4$ i $n=10$ . U trećem slučaju iz $2m-5=5$ , $2n-5=9$ , slijedi $m=5$ , što nije složen broj.

Dakle, jedina mogućnost je $m=4$ , $n=10$ . U tom slučaju je $p=\frac{m+n}{2}=7$ , što jest prost broj, pa stvarno dobivamo rješenja. Uvrštavanjem za $a$ i $b$ dobivamo $a=9$ i $b=14$ .

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, zaključimo da je $q=2$ te da vrijedi

m+n=2p,\qquad mn=5p+5.

Iz prve jednadžbe slijedi $n=2p-m$ , a uvrštavanjem u drugu slijedi

m^2-2pm+5p+5=0.

Ovo je kvadratna jednadžba, koja mora imati cjelobrojna rješenja pa joj diskriminanta $D:=4p^2-20p-20$ mora biti potpun kvadrat.

Međutim, primijetimo da je

4p^2-20p-20=(2p-5)^2-45<(2p-5)^2,

pa je $4p^2-20p-20\leq(2p-6)^2$ , što je ekvivalentno s $p\leq14$ .

Kako je $p$ prost broj različit od $2$ , preostaje provjeriti je li diskriminanta potpun kvadrat u slučajevima kada je $p$ jednak jednom od brojeva $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ .

Direktnim uvrštavanjem za $p=2$ , $p=3$ i $p=5$ dobivamo redom $D=-44$ , $D=-44$ i $D=-20$ , što očito nisu potpuni kvadrati. U slučaju $p=7$ dobivamo potpun kvadrat $D=36$ . U slučajevima $p=11$ i $p=13$ dobivamo redom $D=244$ i $D=396$ , što nisu potpuni kvadrati.

Za $p=7$ , za $m$ i $n$ dobivamo vrijednosti $4$ i $10$ , što jesu složeni brojevi, pa u ovom slučaju dobivamo rješenje. Pripadne vrijednosti $a$ i $b$ su $a=9$ , $b=14$ .