3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo rješenja prve jednadžbe $p$ i $q$, a rješenja druge jednadžbe $m$ i $n$.

Prema Vièteovim formulama vrijedi $p+q=a$ i $pq=b$.

Iz Vièteovih formula imamo i $m+n=b$ te $mn=5a-5$.

Pretpostavimo prvo da su $p$ i $q$ oba neparni.

Iz toga slijedi da je $a$ paran broj, a $b$ neparan.

Kako je $b$ neparan, iz $b=m+n$ slijedi da je jedan od brojeva $m$ i $n$ paran, a drugi neparan. Međutim, tada bi njihov umnožak bio paran. Kako je $5a-5$ neparan broj, dolazimo do kontradikcije. Prema tome, $p$ i $q$ ne mogu biti oba neparni.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo $q=2$. Tada je

$$m+n=b=2p,\qquad mn=5a-5=5(2+p)-5=5p+5.$$

Množenjem druge jednakosti s $2$ i uvrštavanjem $2p=m+n$ dobivamo

$$2mn=5m+5n+10.$$

Množenjem ove jednakosti s $2$ dobivamo

$$4mn=10m+10n+20,$$

odnosno

$$(2m-5)(2n-5)=45.$$

Bez smanjenja općenitosti neka je $m\leq n$. Broj $45$ na tri načina možemo napisati kao umnožak dva prirodna broja, kao $1\cdot45$, $3\cdot15$ ili $5\cdot9$. Dakle, preostaje provjeriti tri slučaja.

U prvom slučaju imamo $2m-5=1$, $2n-5=45$, odakle je $m=3$, što nije složen broj. U drugom slučaju je $2m-5=3$, $2n-5=15$, gdje za rješenje dobivamo složene brojeve $m=4$ i $n=10$. U trećem slučaju iz $2m-5=5$, $2n-5=9$, slijedi $m=5$, što nije složen broj.

Dakle, jedina mogućnost je $m=4$, $n=10$. U tom slučaju je $p=\frac{m+n}{2}=7$, što jest prost broj, pa stvarno dobivamo rješenja. Uvrštavanjem za $a$ i $b$ dobivamo $a=9$ i $b=14$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, zaključimo da je $q=2$ te da vrijedi

$$m+n=2p,\qquad mn=5p+5.$$

Iz prve jednadžbe slijedi $n=2p-m$, a uvrštavanjem u drugu slijedi

$$m^2-2pm+5p+5=0.$$

Ovo je kvadratna jednadžba, koja mora imati cjelobrojna rješenja pa joj diskriminanta $D:=4p^2-20p-20$ mora biti potpun kvadrat.

Međutim, primijetimo da je

$$4p^2-20p-20=(2p-5)^2-45<(2p-5)^2,$$

pa je $4p^2-20p-20\leq(2p-6)^2$, što je ekvivalentno s $p\leq14$.

Kako je $p$ prost broj različit od $2$, preostaje provjeriti je li diskriminanta potpun kvadrat u slučajevima kada je $p$ jednak jednom od brojeva $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$.

Direktnim uvrštavanjem za $p=2$, $p=3$ i $p=5$ dobivamo redom $D=-44$, $D=-44$ i $D=-20$, što očito nisu potpuni kvadrati. U slučaju $p=7$ dobivamo potpun kvadrat $D=36$. U slučajevima $p=11$ i $p=13$ dobivamo redom $D=244$ i $D=396$, što nisu potpuni kvadrati.

Za $p=7$, za $m$ i $n$ dobivamo vrijednosti $4$ i $10$, što jesu složeni brojevi, pa u ovom slučaju dobivamo rješenje. Pripadne vrijednosti $a$ i $b$ su $a=9$, $b=14$.