1. Zadatak

Označimo polumjer kruga sa $r$. Tada duljina jedne stranice pravokutnika iznosi $2r$. Neka je $a$ duljina druge stranice pravokutnika.

Opseg prozora jednak je zbroju opsega pravokutnika bez jedne stranice duljine $2r$ i duljine polukružnice polumjera $r$, odnosno vrijedi

$$2r+2a+r\pi=4,$$

iz čega slijedi $a=2-r\left(1+\frac\pi2\right)$.

Površina prozora jednaka je zbroju površina pravokutnika i polukruga, odnosno vrijedi

$$P=a\cdot2r+\frac{r^2\pi}{2}.$$

Uvrštavanjem $a$ u izraz za površinu, dobivamo

$$\begin{aligned} P&=\left(2-r\left(1+\frac\pi2\right)\right)\cdot2r+\frac{r^2\pi}{2} =(4-2r-\pi r)\cdot r+\frac{r^2\pi}{2}\\ &=\left(-\frac\pi2-2\right)r^2+4r. \end{aligned}$$

Površina prozora je kvadratna funkcija u nepoznanici $r$. Kako je vodeći koeficijent negativan, najveća moguća vrijednost postiže se u tjemenu funkcije.

Prema tome, najveća moguća vrijednost postiže se za polumjer

$$r=\frac{-4}{2\left(-\frac\pi2-2\right)}=\frac4{\pi+4}.$$

Zadatak je moguće riješiti i tako da se polumjer izrazi pomoću stranice. Tada vrijedi

$$r=\frac{4-2a}{2+\pi}$$ $$P=\frac{-8-2\pi}{(2+\pi)^2}a^2+\frac{16}{(2+\pi)^2}a+\frac{8\pi}{(2+\pi)^2},$$

a najveća vrijednost postiže se za $a=\frac4{4+\pi}$.