7. Zadatak

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da se na jednom pravcu nalaze točke $A$, $Q$ i $C$, a na drugom $B$, $Q$ i $D$.

Da bi trokuti $PAB$ i $PCD$ bili slični dovoljno je dokazati da je $\angle APB=\angle CPD$ i $\angle BAP=\angle DCP$.

Vrijedi $\angle APB=\angle AQB$ (obodni kutovi nad tetivom $\overline{AB}$).

Zatim, $\angle AQB=\angle CQD$ (vršni kutovi).

Sada je $\angle CQD=\angle CPD$ (obodni kutovi nad tetivom $\overline{CD}$) odakle dobivamo $\angle APB=\angle CPD$.

Imamo $\angle BAP=\angle BQP$ (obodni kutovi nad tetivom $\overline{BP}$).

$\angle DQP=180^\circ-\angle BQP$ (sukuti),

a kako je $\angle DQP=180^\circ-\angle DCP$

(nasuprotni kutovi u tetivnom četverokutu $CDQP$),

konačno slijedi $\angle BAP=\angle DCP$.

Napomena. Tražena sličnost može se dokazati i tako da se dokaže jednakost kutova $\angle BAP=\angle DCP$ i $\angle ABP=\angle CDP$, pri čemu je dovoljno dokazati jednu od te dvije jednakosti i naglasiti da se druga dokazuje analogno.