4. Zadatak

Neka je $ABC$ trokut kojeg tvore središta danih krugova, a $S$ njihova zajednička točka. To je ujedno središte jednakostraničnog trokuta $ABC$.

Vrijedi $|SA|=|SB|=|SC|=1$.

Neka je $T$ drugo sjecište kružnica polumjera 1 sa središtima $A$ i $B$.

Kako je $AB$ simetrala dužine $\overline{ST}$, vrijedi $\angle SAT=2\angle SAB=60^\circ$ pa zaključujemo da je trokut $AST$ jednakostraničan stranice duljine 1.

Tražena površina jednaka je trostrukoj površini presjeka dvaju krugova, odnosno šesterostrukoj površini kružnog odsječka koji se nalazi između tetive $\overline{ST}$ i kružnice sa središtem u točki $A$.

Površina tog odsječka jednaka je razlici površine kružnog isječka $AST$ i površine jednakostraničnog trokuta $AST$, tj. $$P(\text{odsječka})=P(\text{isječka})-P(\text{trokuta})=\frac16\cdot1^2\cdot\pi-\frac14\cdot1^2\cdot\sqrt3=\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{4}.$$ Tražena površina je $\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\,\mathrm{cm}^2$.