6. Zadatak

Izračunamo: $z^2=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$, $z^3=-1$, $z^4=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$, $z^5=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$, $z^6=1$.

Zbrajanjem dobivamo $z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$.

Kako je 2010 djeljivo sa 6, imamo $$\begin{aligned} z+z^2+z^3+z^4+\ldots+z^k+\ldots+z^{2010}&=(z+z^2+\cdots+z^6)+z^6(z+z^2+\cdots+z^6)\\ &\quad+\cdots+z^{2004}(z+z^2+\cdots+z^6)\\ &=(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)(1+z^6+z^{12}+z^{18}+\cdots+z^{2004})=0. \end{aligned}$$ Napomena. Koristeći formulu za sumu geometrijskog niza odmah dobivamo: $$z+z^2+z^3+z^4+\ldots+z^k+\ldots+z^{2010}=z\cdot\frac{z^{2010}-1}{z-1}=z\cdot\frac{(z^3)^{670}-1}{z-1}=0,$$ zbog činjenice da je $z^3=-1$.