8. Zadatak

Prvo rješenje.

Mora biti $x^2+3x+24=y^2$, za neki $y\in\mathbb N_0$, odnosno mora vrijediti jednakost $x^2+3x+24-y^2=0$.

Diskriminanta ove kvadratne jednadžbe po $x$ je $D=9-4(24-y^2)=4y^2-87$.

Da bi $x$ bio cijeli broj, mora vrijediti $4y^2-87=a^2$ za neki $a\in\mathbb N_0$. Dakle, imamo $4y^2-a^2=87$, odnosno $(2y-a)(2y+a)=87$.

Rastav broja 87 na proste faktore je $87=3\cdot29$. Kako je $2y+a\ge0$, oba faktora su pozitivna i uz to je $2y-a<2y+a$.

Zato imamo dvije mogućnosti: $$2y-a=1,\ 2y+a=87,\quad\text{odnosno}\quad2y-a=3,\ 2y+a=29.$$ U prvom slučaju je $y=22$, $a=43$

pa traženi brojevi zadovoljavaju kvadratnu jednadžbu $x^2+3x-460=0$,

čija su rješenja $x=20$ i $x=-23$.

U drugom slučaju $y=8$, $a=13$

pa traženi brojevi zadovoljavaju kvadratnu jednadžbu $x^2+3x-40=0$

čija su rješenja 5 i $-8$.

Dakle, sve moguća cjelobrojna rješenja su $-23$, $-8$, 5 i 20.

Drugo rješenje.

Imamo $x^2+3x+24=y^2$ za neki cijeli broj $y$. Pomnožimo li jednadžbu s 4 dobivamo $4x^2+12x+96=4y^2$, tj. $(2x+3)^2+87=4y^2$.

Prebacimo li $(2x+3)^2$ na desnu stranu i primijenimo razliku kvadrata, dobivamo $$87=(2y+2x+3)(2y-2x-3).$$ Kako je rastav broja 87 na proste faktore $87=3\cdot29$ imamo osam slučajeva: $$\begin{aligned} 2y+2x+3=1,&\quad2y-2x-3=87&&\Rightarrow x=-23,\ y=22,\\ 2y+2x+3=87,&\quad2y-2x-3=1&&\Rightarrow x=20,\ y=22,\\ 2y+2x+3=3,&\quad2y-2x-3=29&&\Rightarrow x=-8,\ y=8,\\ 2y+2x+3=29,&\quad2y-2x-3=3&&\Rightarrow x=5,\ y=8,\\ 2y+2x+3=-1,&\quad2y-2x-3=-87&&\Rightarrow x=20,\ y=-22,\\ 2y+2x+3=-87,&\quad2y-2x-3=-1&&\Rightarrow x=-23,\ y=-22,\\ 2y+2x+3=-3,&\quad2y-2x-3=-29&&\Rightarrow x=5,\ y=-8,\\ 2y+2x+3=-29,&\quad2y-2x-3=-3&&\Rightarrow x=-8,\ y=-8. \end{aligned}$$ Opet dobivamo da su jedina rješenja $x\in\{-23,-8,5,20\}$.

Treće rješenje.

Primijetimo da je za $x\ge0$ $$(x+1)^2=x^2+2x+1<x^2+3x+24<x^2+10x+25=(x+5)^2$$ pa razlikujemo tri slučaja:

1. slučaj: $x^2+3x+24=(x+2)^2\Rightarrow x=20$,

2. slučaj: $x^2+3x+24=(x+3)^2\Rightarrow x=5$,

3. slučaj: $x^2+3x+24=(x+4)^2\Rightarrow5x=8$, $x\notin\mathbb Z$.

Za $x<0$ imamo $$(x+2)^2=x^2+4x+4<x^2+3x+24<x^2-8x+16=(x-4)^2$$ pa razlikujemo pet slučajeva:

1. slučaj: $x^2+3x+24=(x+1)^2\Rightarrow x=-23$,

2. slučaj: $x^2+3x+24=x^2\Rightarrow x=-8$,

3. slučaj: $x^2+3x+24=(x-1)^2\Rightarrow5x=-23$, $x\notin\mathbb Z$,

4. slučaj: $x^2+3x+24=(x-2)^2\Rightarrow7x=-20$, $x\notin\mathbb Z$,

5. slučaj: $x^2+3x+24=(x-3)^2\Rightarrow9x=-15$, $x\notin\mathbb Z$.

Dakle, jedina rješenja su $x\in\{-23,-8,5,20\}$.