3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $p$ i $q$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{2011}{2010}=\frac{p+1}{p}\cdot\frac{q+1}{q}.$$

Tada je $2011pq=2010(pq+p+q+1)$ tj. $pq=2010(p+q+1)$. Iz posljednje jednakosti možemo izraziti

$$p=\frac{2010(q+1)}{q-2010} =\frac{2010(q-2010)+2010\cdot2011}{q-2010} =2010+\frac{2010\cdot2011}{q-2010}.$$

Budući da su $p$ i $q$ prirodni brojevi, slijedi da je $q-2010$ pozitivan djelitelj broja $2010\cdot2011$. Svakom djelitelju broja $2010\cdot2011$ odgovara točno jedan par $(p,q)$. Rastav broja $2010\cdot2011$ na proste faktore je $2\cdot3\cdot5\cdot67\cdot2011$ pa je broj njegovih djelitelja $2^5=32$. Konačno, budući da parovi $(p,q)$ i $(q,p)$ određuju isti prikaz, traženi broj prikaza je $16$.

Drugo rješenje.

Neka su $p$ i $q$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{2011}{2010}=\frac{p+1}{p}\cdot\frac{q+1}{q}.$$

Uočimo da je $M(p,p+1)=M(q,q+1)=1$. Neka je $a=M(p,q+1)$, $p=am$, $q+1=ak$. Tada je $M(m,k)=1$. Analogno, za $b=M(q,p+1)$, $q=bn$, $p+1=bl$ vrijedi $M(n,l)=1$. Dalje imamo

$$am-bl=p-(p+1)=-1,\qquad ak-bn=(q+1)-q=1. \tag{*}$$

iz čega slijedi $M(l,m)=1$ i $M(k,n)=1$. Zato su i brojevi $lk$ i $mn$ relativno prosti. Vrijedi

$$\frac{2011}{2010}=\frac{bl}{am}\cdot\frac{ak}{bn}=\frac lm\cdot\frac kn=\frac{lk}{mn}$$

pa vidimo da mora biti

$$lk=2011\qquad\text{i}\qquad mn=2010. \tag{**}$$

Kako je $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$, broj $m$ može biti bilo koji od $2^4=16$ djelitelja broja $2010$, a onda je $n$ jednoznačno određen. Broj $2011$ je prost pa $l$ i $k$ možemo odabrati samo na dva načina. Dakle, brojeve $k,l,m,n\in\mathbb{N}$ koji zadovoljavaju $(**)$ možemo odabrati na $16\cdot2=32$ načina.

Ako odaberemo bilo koje $k,l,m,n\in\mathbb{N}$ koji zadovoljavaju $(**)$, postojat će jedinstveni $p,q$ kakve tražimo. Naime, rješavanjem sustava $(*)$:

$$bl-am=1,\qquad ak-bn=1$$

dobivamo

$$a=\frac{n+l}{kl-mn},\qquad b=\frac{k+m}{kl-mn}.$$

Zbog $kl-mn=2011-2010=1$ vrijedi $a=l+n$, $b=k+m$ pa je $p=am=(n+l)m$ i $q=bn=(k+m)n$.

Konačno, traženi broj jednak je polovini broja 32 jer poredak faktora nije bitan pa je rezultat $16$.

Napomena. Općenito, broj prikaza broja $\frac{m+1}{m}$ u obliku umnoška dvaju razlomaka tog oblika je $\frac12d(m)d(m+1)$.