2. Zadatak

Prirodni broj ima neparno mnogo djelitelja ako i samo ako je kvadrat nekog prirodnog broja.

Za prirodni broj $m$ vrijedi

$$m^2<m^2+1<m^2+2m+1=(m+1)^2,$$

pa $m^2+1$ nije potpun kvadrat. Dakle $b$, $c$, $d$ nisu potpuni kvadrati, pa imaju paran broj djelitelja. Iz uvjeta zadatka slijedi da $a$ ima neparan broj djelitelja, pa $a$ mora biti potpuni kvadrat. Kako je $a<b<c<d$, svi članovi su manji od $10^6$ ako i samo ako je $d<10^6$.

Imamo niz nejednakosti

$$10^6>d=c^2+1>c^2=(b^2+1)^2>b^4=(a^2+1)^4>a^8.$$

Stoga mora biti $a^8<10^6$. Zbog $10^6=1000^3<1024^3=2^{20}<2^{24}=8^8$, zaključujemo da je $a<8$. Jedini kvadrati manji od 8 su 1 i 4.

Direktnom provjerom zaključujemo da su obje četvorke $(1,2,5,26)$ i $(4,17,290,84101)$ zelene. Dakle, postoje dvije takve zelene četvorke.

Napomena: Tvrdnju da je broj kvadrat prirodnog broja ako i samo ako ima neparan broj djelitelja učenik ne treba dokazivati. Slijedi jednostavan dokaz te tvrdnje. Sve djelitelje broja $n$ možemo grupirati u parove pri čemu je djelitelj $d$ u paru s $\frac{n}{d}$, osim ako je $n=k^2$ za neki prirodan broj $k$ (tada je $k$ u paru sam sa sobom).