5. Zadatak

Koristeći uobičajene oznake za veličine kutova trokuta $ABC$, iz uvjeta zadatka je $\alpha<\beta<\gamma$.

Kutovi $\angle ADB$ i $\angle AEB$ su pravi pa je četverokut $ABDE$ tetivan, i vrijedi $\angle CDE=\angle BAE=\alpha$. Analogno, tetivni su i četverokuti $BCEF$ i $CAFD$, pa je $\angle BFE=180^\circ-\angle ECB=180^\circ-\gamma$, $\angle BFD=\angle ACD=\gamma$ i $\angle FDB=\angle FAC=\alpha$.

S obzirom na to da je $FM\parallel DE$, vrijedi $\angle BMF=\angle CDE=\alpha$, pa je $\angle MFB=\angle CBF-\angle BMF=\beta-\alpha$. Budući da je $\angle MFE=\angle MFB+\angle BFE=(\beta-\alpha)+(180^\circ-\gamma)=2\beta$, odnosno $\angle MFN=\beta$, imamo

$$\angle BFN=\angle MFN-\angle MFB=\alpha<\gamma=\angle BFD,$$

zbog čega se točka $N$ nalazi izvan trokuta $ABC$.

Zato je $\angle BDN=\angle CDE=\alpha=\angle BFN$, a četverokut $BNDF$ je tetivan.

Nadalje je $\angle FNB=\angle FDB=\alpha$, i primjećujemo da su trokuti $FMD$ i $BNF$ jednakokračni, stoga vrijedi $|FM|=|FD|$ i $|BN|=|BF|$.

Sljedećim nizom ekvivalencija dovršavamo dokaz:

$$\begin{aligned} &F \text{ je središte kružnice opisane trokutu } DMN\\ \Longleftrightarrow{}&\angle MFN=2\angle MDN\\ \Longleftrightarrow{}&\beta=2\alpha\\ \Longleftrightarrow{}&\beta-\alpha=\alpha\\ \Longleftrightarrow{}&\angle MFB=\angle BMF\\ \Longleftrightarrow{}&|BM|=|BF|\\ \Longleftrightarrow{}&B \text{ je središte kružnice opisane trokutu } FMN. \end{aligned}$$