4. Zadatak

Iz kosinusovog poučka za trokut $KBC$ dobijemo

$$\cos\gamma=\frac{|BC|^2+|CK|^2-|BK|^2}{2|BC|\cdot|CK|}=\frac18.\qquad(1)$$

Primjenom kosinusovog poučka za trokut $ABC$ imamo

$$\cos\gamma=\frac{|BC|^2+|AC|^2-|AB|^2}{2|BC|\cdot|AC|}=\frac{4+b^2-c^2}{4b}.\qquad(2)$$

Iz (1) i (2) dobivamo jednadžbu

$$8+2b^2-2c^2=b.\qquad(3)$$

Iz poučka o simetrali kuta za kut $\angle ABC$ imamo $\dfrac{|AK|}{|CK|}=\dfrac{|AB|}{|BC|}$

tj. $\dfrac{b-1}1=\dfrac c2$. Odavde dobivamo drugu jednadžbu $c=2(b-1)$.

Uvrštavanjem u (3) dobijemo $b=\dfrac52$, $c=3$.

Površinu trokuta ćemo izračunati koristeći Heronovu formulu.

Kako je poluopseg $s=\dfrac{15}4$, to je

$$P=\sqrt{\frac{15}4\cdot\frac74\cdot\frac54\cdot\frac34}=\frac{15\sqrt7}{16}.$$

Napomena. Zadatak se može riješiti i primjenom kosinusovog poučka na kut $\dfrac\beta2$ u trokutima $BCK$ i $ABK$.