2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvedimo supstituciju $t=\sin x+\cos x$.

Tada je $t^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x$, odakle je $\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}2$.

Sada jednadžba prelazi u

$$t+\frac{t^2-1}2=1\quad\text{tj.}\quad t^2+2t-3=0.$$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su: $t_1=1$, $t_2=-3$.

U prvom slučaju jednadžba se svodi na $\sin x+\cos x=1$, koju možemo zapisati u zgodnijem obliku

$$\begin{aligned}\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x&=\frac{\sqrt2}2\\\sin\left(x+\frac\pi4\right)&=\frac{\sqrt2}2\\x+\frac\pi4&=\frac\pi4+2k\pi,\quad x+\frac\pi4=\frac{3\pi}4+2k\pi.\end{aligned}$$

Odavde dobivamo $x=\dfrac\pi2+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

ili $x=2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

U drugom slučaju nema rješenja jer je $|t_2|=3>|\sin x+\cos x|$.

Dakle, skup rješenja je

$$\left\{\frac\pi2+2k\pi:k\in\mathbb Z\right\}\cup\{2k\pi:k\in\mathbb Z\}.$$

Drugo rješenje.

Iz dane jednadžbe dobivamo $(\sin x+\cos x)^2=(1-\sin x\cos x)^2$ $\quad(1)$

Redom imamo:

$$\begin{aligned}\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x&=1-2\sin x\cos x+\sin^2x\cos^2x\\1+2\sin x\cos x&=1-2\sin x\cos x+\sin^2x\cos^2x\\4\sin x\cos x-\sin^2x\cos^2x&=0\qquad(2)\\\sin x\cos x(4-\sin x\cos x)&=0.\end{aligned}$$

Jednadžba (1), odnosno (2) ekvivalentna je polaznoj jednadžbi uz uvjet $\sin x+\cos x\ge0$.

Kako je $4-\sin x\cos x>0$ iz (2) slijedi $\sin x\cos x=0$, tj. $\sin(2x)=0$, odakle dobivamo $x=\dfrac{k\pi}2$, $k\in\mathbb Z$.

Uvjet $\sin x+\cos x\ge0$ zadovoljavaju $x\in\left\{\dfrac\pi2+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}\cup\{2k\pi,\ k\in\mathbb Z\}$.