1. Zadatak

Sustav jednadžbi je definiran na skupu $S=\{(x,y):x,y\in\langle0,1\rangle\cup\langle1,\infty\rangle\}$.

Iz prve jednadžbe imamo

$$\begin{aligned}\log_yx+\log_xy&=\frac52,\\\frac1{\log_xy}+\log_xy&=\frac52,\\2(\log_xy)^2-5\log_xy+2&=0.\end{aligned}$$

Odavde dobivamo dvije mogućnosti: $\log_xy=2$ i $\log_xy=\dfrac12$.

To možemo zapisati u obliku $y=x^2$, $y=\sqrt x$.

Skup rješenja danog sustava jednadžbi je presjek skupa $S$ i unije skupova rješenja ovih dvaju sustava:

$$\begin{aligned}y&=x^2,\\x+y&=12,\\x^2+x-12&=0,\\x_1&=-4,\ x_2=3,\\y_1&=16,\ y_2=9,\end{aligned}\qquad\begin{aligned}y&=\sqrt x\\x+y&=12\\x+\sqrt x-12&=0\\x_3&=9,\ (\sqrt x\ge0)\\y_3&=3.\end{aligned}$$

Skup rješenja polaznog sustava je $S\cap\{(-4,16),(3,9),(9,3)\}=\{(3,9),(9,3)\}$.