2. Zadatak

Množenjem svake od jednakosti s $ab$ imamo

$$a^2+b^2=3ab \qquad\text{i}\qquad a^3+b^3=10ab.$$

Uočimo, $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Uvrštavanjem prve jednakosti u drugu imamo $10ab=(a+b)(3ab-ab)=2ab(a+b)$, odakle dijeljenjem s $2ab$ slijedi $a+b=5$.

Iz $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i prve jednakosti slijedi $(a+b)^2=5ab$.

Uvrštavanjem imamo $5ab=5^2$, odnosno $ab=5$.

Svođenjem na zajednički nazivnik i zbrajanjem imamo

$$\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}.$$

Uvrštavanjem prethodno dobivenih vrijednosti slijedi $\frac1a+\frac1b=\frac55=1$.

Napomena: Jednakost $a+b=5$ može se dobiti na više načina. Primjerice:

Množenjem prve jednakosti s $a$ i s $b$ imamo

$$\frac{a^2}{b}+b=3a \qquad\text{i}\qquad a+\frac{b^2}{a}=3b.$$

Zbrajanjem slijedi

$$\frac{a^2}{b}+b+a+\frac{b^2}{a}=3(a+b).$$

Uvrštavanjem druge jednadžbe imamo $a+b+10=3(a+b)$ odnosno $a+b=5$.