7. Zadatak

Trokuti $KEL$ i $MDN$ imaju iste kutove i sukladne hipotenuze, pa je $\lvert DN\rvert=\lvert EL\rvert$.

Neka su $N'$ i $L'$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranicu $\overline{BC}$ i iz točke $L$ na stranicu $\overline{AD}$.

Pravokutnici $LN'NL'$ i $KLMN$ imaju zajedničku dijagonalu, pa su sukladni.

Iz toga slijedi da je $\lvert LN'\rvert=\lvert KL\rvert=\lvert BE\rvert$.

Sad zaključujemo da je $\lvert BL\rvert=\lvert BE\rvert+\lvert EL\rvert=\lvert LN'\rvert+\lvert ND\rvert=\lvert LN'\rvert+\lvert N'C\rvert=\lvert LC\rvert$. Dakle, $L$ je polovište stranice $\overline{BC}$, tj. $\lvert LC\rvert=\frac12$.

Pravokutni trokut $MLC$ ima hipotenuzu duljine $1$ i jednu katetu duljine $\frac12$, pa je $\angle CLM=60^\circ$ i $\lvert CM\rvert=\frac{\sqrt3}{2}$.

Također vrijedi $\angle DMN=60^\circ$, pa je

$$\lvert BE\rvert=\lvert MN\rvert=2\lvert DM\rvert=2\cdot\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)=2-\sqrt3.$$