4. Zadatak

Prvo rješenje.

Središnje polje ploče se pri rotaciji ne mijenja. Njega možemo proizvoljno obojiti.

Uočimo da rotacijom ploče četiri puta u istom smjeru, proizvoljno polje prelazi u najviše tri različita polja te na kraju opet dolazimo do početnog polja. Iz uvjeta zadatka slijedi da ta četiri polja moraju biti iste boje (npr. sva polja u kutovima ploče moraju biti iste boje).

Ostala $24$ polja možemo podijeliti na četiri pravokutnika dimenzija $2\times3$ kao na slici: pri svakoj rotaciji se ta četiri pravokutnika ciklički preslikavaju jedan u drugog. Polja u jednom od tih pravokutnika možemo obojiti po volji, a ostali pravokutnici su onda jednoznačno određeni.

Dakle, na cijeloj ploči možemo $7$ polja obojiti po volji i za svako od tih polja imamo dvije mogućnosti. Zato ima $2^7$ različitih bojenja, odnosno različitih lijepih ploča.

Drugo rješenje.

Pridružimo poljima koordinate pripadnog retka i stupca, tako da je polje u gornjem lijevom kutu označeno $(1,1)$, polje desno od njega $(1,2)$ i tako dalje do polja u donjem desnom kutu koje je označeno $(5,5)$.

Reći ćemo da polje $(a,b)$ prelazi u polje $(k,l)$ ako rotacijom ploče za $90^\circ$ u nekom smjeru koordinate polja $(a,b)$ postaju $(k,l)$.

Uočimo da polje $(3,3)$ ostaje na istom mjestu neovisno o rotacijama.

Za sva ostala polja vrijedi: rotacijom ploče četiri puta u istom smjeru, proizvoljno polje $(a,b)$ prelazi u tri različita polja te na kraju opet postaje polje $(a,b)$. Iz uvjeta zadatka slijedi da sva polja u koja $(a,b)$ prelazi moraju biti iste boje.

Primjerice, polja $(1,1)$, $(1,5)$, $(5,1)$ i $(5,5)$ moraju biti iste boje.

Nadalje, polja $(1,2)$, $(2,5)$, $(5,4)$ i $(4,1)$ moraju biti iste boje itd.

Prema tome, sva polja osim $(3,3)$ možemo razvrstati u $6$ četveročlanih skupina tako da polja unutar iste skupine moraju biti jednako obojena, pri čemu boja jedne skupine ne utječe na preostale. Također možemo reći da polje $(3,3)$ pripada svojoj, jednočlanoj skupini.

Polja možemo označiti brojevima tako da polja koja pripadaju istoj skupini budu označena istim brojem, kao na slici:

1	2	3	4	1
4	5	6	5	2
3	6	7	6	3
2	5	6	5	4
1	4	3	2	1

Budući da ima $7$ različitih skupina te da je potrebno odrediti koje boje je pojedina skupina, ukupno ima $2^7$ različitih bojenja, odnosno različitih lijepih ploča.