1. Zadatak

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja zadane jednadžbe. Uvjet zadan u zadatku tada glasi $x_1^2+x_2^2=17$. Prema Vièteovim formulama imamo

$$x_1+x_2=-\frac{p^2+1}{p-3} \qquad\text{i}\qquad x_1x_2=\frac{-11p+18}{p-3}$$

pa je

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{p^2+1}{p-3}\right)^2-2\cdot\frac{-11p+18}{p-3}.$$

Zbog toga tražimo sve realne brojeve $p$ takve da vrijedi

$$\left(\frac{p^2+1}{p-3}\right)^2-2\cdot\frac{-11p+18}{p-3}=17$$ $$\Longleftrightarrow (p^2+1)^2-2(-11p+18)(p-3)=17(p-3)^2$$ $$\Longleftrightarrow p^4+7p^2-44=0.$$

Zamjenom $t=p^2$ dolazimo do kvadratne jednadžbe

$$t^2+7t-44=0$$

čija su rješenja $t=4$ i $t=-11$.

Budući da jednadžba $p^2=-11$ nema rješenja odbacujemo drugu opciju. Prva opcija vodi do $p^2=4$, odnosno $p=\pm2$.

Rješavanjem početne jednadžbe za $p=-2$ dobivamo rješenja

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{2}$$

od kojih jedno nije pozitivan broj, stoga opciju $p=-2$ odbacujemo.

Rješavanjem jednadžbe za $p=2$ dobivamo da su $x_1=1$ i $x_2=4$ doista pozitivni realni brojevi. Zbog toga je jedino rješenje $p=2$.