5. Zadatak

Središte traženog kruga mora biti udaljeno za barem 1 od rubova kvadrata. Naći ćemo to središte u kvadratu kojemu su stranice paralelne sa stranicama početnog kvadrata i udaljene od njih za 1. Duljina stranice tog manjeg kvadrata je 36.

Skup svih točaka koje leže na udaljenosti manjoj od 1 od konveksnog mnogokuta $P$ je područje $Q$ omeđeno dužinama paralelnim stranicama poligona $P$ i kružnim lukovima koji spajaju krajeve tih dužina (vidi sliku). Za površine likova $P$ i $Q$ vrijedi

$$\text{Površina}(Q)=\text{Površina}(P)+\text{Opseg}(P)\times1+\pi$$

jer kružni isječci u kutovima lika $Q$ čine zajedno puni krug polumjera 1. Zbog uvjeta zadatka $\text{Površina}(P)<\pi$ i $\text{Opseg}(P)<2\pi$, pa je $\text{Površina}(Q)<4\pi$. Likovi $Q$ mogu se preklapati, no površina njihove unije, tj. skupa svih točaka koje su udaljene za najviše 1 od nekog od 100 danih mnogokuta iznosi najviše $400\pi$. Kako je $400\pi\le400\cdot3.2=40\cdot32=36^2-4^2<36^2$, postoji točka unutar kvadrata stranice 36 koja nije prekrivena ni jednim likom $Q$, pa tu točku možemo uzeti za središte traženog kruga polumjera 1. Taj krug ne siječe niti jedan od danih mnogokuta.