1. Zadatak

Označimo s $P$ sjecište pravca $TH$ i dužine $\overline{BC}$. Dokazat ćemo da je $P$ polovište stranice $\overline{BC}$.

Kako je $\angle AHC=\angle ATC=90^\circ$, točke $A,H,T$ i $C$ leže na istoj kružnici, pa je

$$\begin{aligned}\angle PHC&=\angle THC=\angle TAC&&\text{(obodni kutovi nad istim lukom)}\\&=\angle OAC=\frac12(180^\circ-\angle AOC)&&\text{(trokut }AOC\text{ je jednakokračan)}\\&=90^\circ-\angle ABC&&\text{(središnji i obodni kut)}\\&=90^\circ-\angle HBC=\angle BCH=\angle PCH.\end{aligned}$$

Dakle, trokut $PCH$ je jednakokračan. Dalje je

$$\angle PBH=90^\circ-\angle BCH=90^\circ-\angle PHC=\angle PHB,$$

pa je i trokut $PHB$ jednakokračan. Zaključujemo da vrijedi $|PC|=|PH|=|PB|$ i time je tvrdnja zadatka dokazana.