2. Zadatak

Prvi način. Označimo $a_1=x_0-x_1$, $a_2=x_1-x_2$, …, $a_n=x_{n-1}-x_n$. Tada su $a_1,\ldots,a_n$ pozitivni realni brojevi. Nejednakost koju trebamo dokazati možemo zapisati kao

$$x_0-x_1+x_1-\ldots-x_{n-1}+x_{n-1}-x_n+\frac1{x_0-x_1}+\frac1{x_1-x_2}+\ldots+\frac1{x_{n-1}-x_n}\ge2n,$$

odnosno $\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(a_i+\frac1{a_i}\right)\ge2n$. No ovo direktno slijedi iz nejednakosti $x+x^{-1}\ge2$ ($x\ge0$). Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a_i=\dfrac1{a_i}$ za sve $i=1,\ldots,n$, što je zbog $a_i>0$ ekvivalentno s $a_i=1$. Dakle, jednakost vrijedi ako i samo ako je

$$x_0-x_1=x_1-x_2=\cdots=x_{n-1}-x_n=1,$$

tj. ako je $x_0,x_1,\ldots,x_n$ aritmetički niz s razlikom $-1$.

Drugi način. Označimo $a_1=x_0-x_1$, $a_2=x_1-x_2$, …, $a_n=x_{n-1}-x_n$. Nejednakost između aritmetičke i harmonijske sredine povlači da je

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n}\ge\frac{n^2}{a_1+a_2+\ldots+a_n}.$$

Zato je

$$\frac1{x_0-x_1}+\frac1{x_1-x_2}+\ldots+\frac1{x_{n-1}-x_n}\ge\frac{n^2}{x_0-x_1+x_1-\ldots+x_{n-1}-x_n}=\frac{n^2}{x_0-x_n}.$$

Traženu nejednakost dobivamo sada iz $x_0-x_n+\dfrac{n^2}{x_0-x_n}\ge2n$, što je ekvivalentno s

$$\left(\sqrt{x_0-x_n}-\frac n{\sqrt{x_0-x_n}}\right)^2\ge0.\qquad(1)$$

Jednakost se u A-H nejednakosti postiže ako i samo ako je $a_1=a_2=\cdots=a_n$ tj. $x_0-x_1=x_1-x_2=\cdots=x_{n-1}-x_n$. U drugoj korištenoj nejednakosti (1) jednakost se postiže ako i samo ako je $x_0-x_n=n$. To znači da nejednakost iz zadatka postaje jednakost ako i samo ako je $x_0,x_1,\ldots,x_n$ aritmetički niz s razlikom $-1$.