3. Zadatak

Neka funkcija $f$ zadovoljava uvjet zadatka. Tada je $f(x)\ge2xy-f(y)$ za sve $x,y\in\mathbb R$, pa za $y=x$ dobivamo da je $f(x)\ge x^2$ za svaki $x\in\mathbb R$. Nadalje iz uvjeta slijedi da za svaki $x$ postoji $y=y_x$ takav da je $f(x)=2xy_x-f(y_x)$. Iz ovog i iz posljednje nejednakosti dobivamo

$$x^2\le f(x)=2xy_x-f(y_x)\le2xy_x-y_x^2,$$

pa je $(x-y_x)^2\le0$, tj. $y_x=x$. Sada iz $f(x)=2xy_x-f(y_x)$ slijedi $f(x)=x^2$. Ova funkcija je rješenje zadatka jer za nju vrijedi

$$\max_{y\in\mathbb R}(2xy-f(y))=\max_{y\in\mathbb R}(2xy-y^2)=\max_{y\in\mathbb R}(x^2-(x-y)^2)=x^2=f(x).$$