1. Zadatak

Ako su vrijednosti $cd=a+b$ i $ab=c+d$ jednake, onda $ab=a+b$ povlači $(a-1)(b-1)=1$. Budući da su $a$ i $b$ prirodni, nužno je $a=b=2$. Analogno je $c=d=2$, pa je jedno rješenje $(a,b,c,d)=(2,2,2,2)$.

Ako vrijednosti $cd=a+b$ i $ab=c+d$ nisu jednake, bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $ab<a+b$. Tada je $(a-1)(b-1)<1$, što je moguće ako je jedna od zagrada jednaka nuli. Pretpostavimo da je $a=1$.

Tada dobivamo sustav $cd=b+1$, $c+d=b$, odakle je $(c-1)(d-1)=b+1-b+1=2$. Uzimajući u obzir rastav broja 2 na faktore, dobivamo dva rješenja: $c=2$, $d=3$ ili $c=3$, $d=2$, te (u oba ta slučaja) $b=5$.

Analogno se rješavaju i svi ostali slučajevi (kada je $b=1$, te kada je $ab>a+b$).

Tako dobivamo sva rješenja:

$$\begin{aligned} (a,b,c,d)={}&(2,2,2,2),\\ &(1,5,2,3),\ (1,5,3,2),\\ &(5,1,2,3),\ (5,1,3,2),\\ &(2,3,1,5),\ (3,2,1,5),\\ &(2,3,5,1),\ (3,2,5,1). \end{aligned}$$