5. Zadatak

Promotrimo ostatke koje izrazi iz dane jednakosti mogu davati pri dijeljenju s 5. Vidimo da desna strana daje ostatak 1 pri dijeljenju s 5. S druge strane, za sve nenegativne cijele brojeve $l$ vrijedi:

$$3^{4l+1}\equiv3\pmod 5,\qquad 3^{4l+2}\equiv4\pmod 5,\qquad 3^{4l+3}\equiv2\pmod 5,\qquad 3^{4l}\equiv1\pmod 5.$$

Stoga zaključujemo da 4 dijeli $n$. Neka je $n=4a$. Iz početne jednadžbe sada slijedi

$$5k^2=3^n-1=3^{4a}-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^{2a}+1).$$

Sva tri faktora na desnoj strani su parni brojevi, te su dodatno prva dva faktora dva uzastopna parna broja pa je jedan od njih djeljiv s 4. Zato je i cijeli umnožak djeljiv sa 16. Uvodeći $k=4b$, imamo

$$80b^2=3^{4a}-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^{2a}+1).$$

Nadalje, kako se prva dva faktora na desnoj strani razlikuju za 2, te kako vrijedi

$$(3^{2a}+1)=(3^a-1)(3^a+1)+2,$$

zaključujemo da je najveća zajednička mjera svakog para faktora s desne strane jednaka 2, odnosno u izrazu

$$10b^2=\frac{3^a-1}{2}\cdot\frac{3^a+1}{2}\cdot\frac{3^{2a}+1}{2}$$

sva tri faktora na desnoj strani jednakosti su u parovima relativno prosti. Zato je svaki od tih faktora jednak kvadratu prirodnog broja pomnožen s 1, 2, 5 ili 10. Dodatni faktori ovise o parnosti broja $a$.

Ako je $a$ paran broj, iz raspisa slučajeva za ostatke broja $3^n$ pri dijeljenju s 5 zaključujemo da $3^{2a}+1$ nije djeljiv s 5. Također, nije ni djeljiv s 4, pa je nužno $3^{2a}+1=2x^2$, za neki prirodan broj $x$. No, u ovom slučaju nema rješenja, budući da lijeva strana daje ostatak 1 pri dijeljenju s 3, dok desna daje 0 ili 2.

Ako je $a$ neparan broj, tada je $2a$ oblika $4l+2$, pa zaključujemo da je $3^{2a}+1$ djeljiv s 5. Nadalje, $3^a$ za neparan $a$ daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4, pa zaključujemo da mora biti

$$\frac{3^a-1}{2}=x^2,\qquad \frac{3^a+1}{2}=2y^2,\qquad \frac{3^{2a}+1}{2}=5z^2,$$

za neke prirodne $x$, $y$ i $z$.

Iz druge jednakosti dobivamo $3^a=(2y-1)(2y+1)$. S desne strane imamo umnožak dva uzastopna neparna broja, pa su oni relativno prosti. Kako u umnošku daju potenciju broja 3, zaključujemo da je to moguće samo ako je manji od njih jednak 1, odnosno $y=1$, pa je $a=1$. U tom slučaju dobivamo da je $n=4$ i $k=4$, odnosno dobivamo jedino rješenje jednadžbe.

Dakle, jedino rješenje je $(n,k)=(4,4)$.