2. Zadatak

Neka su dani realni brojevi $x_1$, $x_2$, $x_3$ i $x_4$. Budući da se nalaze u intervalu $\langle 0,1\rangle$, postoje jedinstveni brojevi $a_1$, $a_2$, $a_3$ i $a_4$ u intervalu $\left\langle 0,\frac{\pi}{2}\right\rangle$ takvi da je $x_i=\sin a_i$, za sve $i=1,2,3,4$. Kako su svi brojevi $x_i$ međusobno različiti, isto vrijedi i za brojeve $a_i$. Dodatno primijetimo da za brojeve $a_i$ vrijedi $\cos a_i>0$.

Za proizvoljne $x_i$ i $x_j$ izraz iz uvjeta zadatka možemo pisati i na ovaj način:

$$\begin{aligned} x_i\sqrt{1-x_j^2}-x_j\sqrt{1-x_i^2} &=\sin(a_i)\sqrt{1-\sin^2(a_j)}-\sin(a_j)\sqrt{1-\sin^2(a_i)}\\ &=\sin(a_i)\cos(a_j)-\sin(a_j)\cos(a_i)=\sin(a_i-a_j). \end{aligned}$$

Podijelimo interval $\left\langle 0,\frac{\pi}{2}\right\rangle$ na tri podintervala jednake duljine: $I_1:=\left\langle 0,\frac{\pi}{6}\right]$, $I_2:=\left\langle \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{6}\right]$ i $I_3:=\left\langle \frac{2\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right\rangle$. Po Dirichletovom principu, među $a_1$, $a_2$, $a_3$ i $a_4$ postoje dva broja $a_i>a_j$ koja se nalaze u istom podintervalu.

Za njih vrijedi $0<a_i-a_j<\frac{\pi}{6}$, odnosno $0<\sin(a_i-a_j)<\frac{1}{2}$. Dakle, postoje dva broja $x_i$ i $x_j$ kao u tekstu zadatka, te je time tvrdnja dokazana.