3. Zadatak

Kako je kut između tangente i tetive jednak obodnom kutu nad tom tetivom, zaključujemo da su kutovi $\angle DBC$ i $\angle DCB$ jednaki kutu $\angle BAC$, tj. mjera im iznosi $45^\circ$, pa je trokut $CDB$ jednakokračni pravokutni trokut.

Zbog potencije točke $E$ u odnosu na kružnicu opisanu trokutu $ABC$ slijedi

$$|EB|^2=|EA|\cdot|EC|=33.$$

Označimo $x:=|CD|$. Iz Pitagorinog teorema primijenjenog na trokut $CDE$ slijedi

$$|CE|^2=|CD|^2+|DE|^2,$$ $$11^2=x^2+(x+\sqrt{33})^2,$$ $$0=x^2+x\sqrt{33}-44,$$ $$x=\frac{-\sqrt{33}\pm\sqrt{209}}{2}.$$

Jedino pozitivno rješenje je $x=\frac{\sqrt{209}-\sqrt{33}}{2}$. Zato je površina trokuta $CDE$ jednaka

$$\frac12|CD|\cdot|DE| =\frac12\cdot\frac{\sqrt{209}-\sqrt{33}}2\cdot\frac{\sqrt{209}+\sqrt{33}}2 =\frac18(209-33)=22.$$

Napomena: Zadatak se može riješiti i bez računanja vrijednosti $x=|CD|$. Iz kvadratne jednadžbe $x^2+x\sqrt{33}-44=0$ imamo

$$44=x^2+x\sqrt{33}=x(x+\sqrt{33})=|CD|\cdot|DE|,$$

pa je površina trokuta $CDE$ jednaka

$$\frac12|CD|\cdot|DE|=\frac{44}{2}=22.$$