4. Zadatak

Pogledajmo ostatke koje izrazi na lijevoj i desnoj strani zadane jednakosti daju pri dijeljenju s $5$. Prvi pribrojnik na lijevoj strani je djeljiv s $5$ pa lijeva strana daje ostatak $4$ pri dijeljenju s $5$. S druge stane, broj $11$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $5$. Konačno, izraz $3^c$, ovisno o vrijednosti broja $c$, daje ostatke $3$, $4$, $2$, $1$, koji se potom ciklički ponavljaju s periodom $4$. Zaključujemo da, kako bi i desna strana davala ostatak $4$ pri dijeljenju s $5$, broj $c$ mora biti oblika $4c_1+2$, za neki nenegativan cijeli broj $c_1$. Posebno, $c$ je paran broj.

Pogledajmo sada ostatke koje isti izrazi daju pri dijeljenju s $8$. Budući da je $c$ paran broj, broj $11\cdot3^c=11\cdot9^{2c_1+1}$ daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $8$. Zato broj $2^a\cdot5^b=1+11\cdot3^c$ mora davati ostatak $4$ pri dijeljenju s $8$. To je moguće samo ako je $a=2$ (ako je $a=1$, lijeva strana daje ostatak $2$, ako je $a\ge3$, lijeva strana je ostatak djeljiva s $8$).

Konačno, pogledajmo ostatke koje ti izrazi daju pri dijeljenju s $3$. Desna strana je djeljiva s $3$, pa broj $2^a\cdot5^b=4\cdot5^b$ mora davati ostatak $1$. Kako $5^b$ daje periodički ostatke $2$ i $1$, zaključujemo da je $b$ paran, odnosno $b=2b_1$, za neki prirodan broj $b_1$.

Lijevu stranu sada možemo faktorizirati koristeći razliku kvadrata:

$$(2\cdot5^{b_1}-1)(2\cdot5^{b_1}+1)=11\cdot3^c.$$

Na lijevoj strani jednadžbe imamo umnožak dva uzastopna neparna broja, te su zato relativno prosti. Nijedan faktor ne može biti jednak $1$, budući da iznose barem $2\cdot5^1-1=9$. Stoga je jedan faktor jednak $11$, a drugi $3^c$.

U prvom slučaju imamo $2\cdot5^{b_1}-1=11$ što nema rješenja.

U drugom slučaju imamo $2\cdot5^{b_1}+1=11$, odakle je $b_1=1$, odnosno $b=2$. Tada je i $2\cdot5^{b_1}-1=9=3^c$, odnosno $c=2$.

Dakle, jedino rješenje jednadžbe je $(a,b,c)=(2,2,2)$.