3. Zadatak

Prema formuli za kub binoma dobivamo:

$$(a^2+b^2)^3=a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6$$ $$=a^6+b^6+3a^2b^2(a^2+b^2).$$

Uvrštavanjem podataka iz zadatka u gornju jednakost dobivamo:

$$8^3=416+3a^2b^2\cdot 8.$$

Sređivanjem dobivamo $a^2b^2=4$.

Budući da su $a$ i $b$ pozitivni, slijedi $ab>0$, pa je $ab=2$.

Napomena: Uvjeti zadatka jedinstveno određuju $a$ i $b$. To su brojevi $\sqrt3-1$ i $\sqrt3+1$. Ako želimo, brojeve $a$ i $b$ možemo odrediti na sljedeći način. Jednom kad znamo $ab=2$, prvo izračunamo $a+b$ iz $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=12$. Nakon toga dobivamo sustav $ab=2$, $a+b=2\sqrt3$ koji vodi na kvadratnu jednadžbu $a^2-2\sqrt3a+2=0$. Učenici prvog razreda kvadratnu jednadžbu mogu riješiti metodom upotpunjavanja do potpunog kvadrata. No, od učenika se u ovom zadatku ne traži niti ne očekuje da odrede brojeve $a$ i $b$.