6. Zadatak

Prvo rješenje:

Neka je $ABC$ zadani trokut. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $\angle ACB=90^\circ$ i $\angle ABC=75^\circ$. Neka je $a=|BC|$, $b=|AC|$ i $c=|AB|$.

Neka je $v$ duljina visine trokuta $ABC$. Budući da vrijedi $ab=cv$ (što možemo vidjeti npr. izražavajući površinu trokuta $ABC$ na dva načina), dovoljno je dokazati $c=4v$.

Neka je točka $D$ polovište hipotenuze. Budući da je trokut $ABC$ pravokutan, točka $D$ je središte opisane kružnice, pa vrijedi $|AB|=2|CD|$.

Drugi kut uz hipotenuzu iznosi $\angle BAC=15^\circ$. Budući da je trokut $ADC$ jednakokračan, vrijedi $\angle DCA=15^\circ$.

Neka je $E$ nožište visine iz vrha $C$ na hipotenuzu $AB$. Uočimo da je $\angle CDE$ vanjski kut trokuta $ADC$, pa je $\angle CDE=30^\circ$.

Trokut $CDE$ ima kutove $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, tj. $CDE$ je polovica jednakostraničnog trokuta. Zato je $|CD|=2|CE|$.

Zaključujemo da je

$$c=|AB|=2|CD|=4|CE|=4v.$$

Drugo rješenje:

Uvedimo oznake kao u prvom rješenju.

Neka je $F$ točka na stranici $AC$ takva da je $\angle CBF=60^\circ$ i $\angle FBA=15^\circ$.

Tada je $BCF$ polovica jednakostraničnog trokuta, tj. vrijedi $|BF|=2a$.

Dužina $CF$ je visina tog trokuta, pa je $|CF|=a\sqrt3$.

Drugi kut uz hipotenuzu iznosi $\angle BAC=15^\circ$, pa je $|AF|=|BF|$.

No, vrijedi i $|CF|=|AC|-|AF|=b-2a$, pa izjednačavanjem dobivamo $a\sqrt3=b-2a$, odakle je $b=a(2+\sqrt3)$.

Konačno, prema Pitagorinom poučku slijedi

$$c^2=a^2+b^2=a^2+a^2(2+\sqrt3)^2=a^2(8+4\sqrt3)=4a\cdot a(2+\sqrt3)=4ab.$$

Treće rješenje:

Uvedimo oznake kao u prvom rješenju.

Neka je točka $G$ na produžetku stranice $BC$ preko vrha $C$ takva da je $\angle BAG=75^\circ$, tj. da je $|BG|=|AG|$.

Drugi kut uz hipotenuzu iznosi $\angle BAC=15^\circ$, pa je $\angle CAG=60^\circ$.

Zato je $ACG$ polovica jednakostraničnog trokuta, tj. $|GA|=2b$.

Sada možemo izračunati površinu trokuta $ABG$:

$$P(ABG)=\frac{|BG|\cdot|AC|}{2}=\frac{|AG|\cdot|AC|}{2}=\frac{2b\cdot b}{2}=b^2.$$

Površina trokuta $ACG$ iznosi $\frac{b^2\sqrt3}{2}$.

Izrazimo li površinu trokuta $ABG$ na drugi način, kao zbroj površina trokuta $ABC$ i $ACG$, dobivamo

$$P(ABG)=P(ABC)+P(ACG)=\frac{ab}{2}+\frac{b^2\sqrt3}{2}.$$

Izjednačavanjem slijedi $b^2=\frac{ab}{2}+\frac{b^2\sqrt3}{2}$, tj. $a=b(2-\sqrt3)$.

Prema Pitagorinom poučku imamo

$$c^2=a^2+b^2=b^2(2-\sqrt3)^2+b^2=b^2(8-4\sqrt3)=4b\cdot b(2-\sqrt3)=4ab.$$