5. Zadatak

Prvo rješenje:

Dijagonale kvadrata imaju duljinu $|AC|=|BD|=a\sqrt2$.

Budući da su točke $B$ i $N$ na kružnici sa središtem $C$, vrijedi

$$|AN|=|AC|-|NC|=a\sqrt2-|BC|=(\sqrt2-1)a.$$

Analogno vidimo $|CM|=(\sqrt2-1)a$. Stoga je

$$|MN|=|AC|-|AN|-|CM|=(2-\sqrt2)a.$$

Neka je $O$ središte kvadrata. Budući da su dijagonale kvadrata okomite, dužina $BO$ je visina na stranicu $MN$ u trokutu $BMN$.

Zato je

$$P(BMN)=\frac{|MN|\cdot|BO|}{2}=\frac{(2-\sqrt2)a\cdot a\sqrt2}{4}=\frac{(\sqrt2-1)a^2}{2}.$$

Analogno je

$$P(DNM)=\frac{|MN|\cdot|DO|}{2}=\frac{(\sqrt2-1)a^2}{2}.$$

Konačno, površina četverokuta $BMDN$ je jednaka

$$P(BMDN)=P(BMN)+P(DNM)=(\sqrt2-1)a^2.$$

Drugo rješenje:

Kao u prvom rješenju izračunamo $|MN|=(2-\sqrt2)a$.

Dijagonale četverokuta $BMDN$ leže na dijagonalama kvadrata, pa se sijeku pod pravim kutom. Zato njegova površina iznosi

$$P(BMDN)=\frac{|MN|\cdot|BD|}{2}.$$

Slijedi da je

$$P(BMDN)=\frac12(2-\sqrt2)a\cdot a\sqrt2=(\sqrt2-1)a^2.$$