1. Zadatak

Skup svih rješenja je $$\begin{gathered} \left\{\left(x,\frac{k\pi}2\right)\mid k\in\mathbb Z,x\in\mathbb R\setminus\left\{\frac{l\pi}2\mid l\in\mathbb Z\right\}\right\}\\ \cup\\ \left\{\left(x,\frac\pi4+\frac{k\pi}2\right)\mid k\in\mathbb Z,x\in\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi4+\frac{l\pi}2\mid l\in\mathbb Z\right\}\right\} \end{gathered}$$

Prvo rješenje.

Da bi $\operatorname{tg}(x+y)$ i $\operatorname{tg}(x-y)$ bili definirani, ne smije biti $x\pm y=\frac\pi2+k\pi$ ni za koji $k\in\mathbb Z$.

Da bi $\operatorname{ctg}(x+y)$ i $\operatorname{ctg}(x-y)$ bili definirani, ne smije biti $x\pm y=k\pi$ ni za koji $k\in\mathbb Z$.

Odavde je $x\pm y\ne\frac{k\pi}2$, za sve $k\in\mathbb Z$, odnosno $x\ne\pm y+\frac{k\pi}2$, za sve $k\in\mathbb Z$.

Zadanu jednadžbu možemo transformirati na sljedeći način: $$\operatorname{tg}(x+y)+\operatorname{ctg}(x-y)=\operatorname{tg}(x-y)+\operatorname{ctg}(x+y)$$ $$\operatorname{ctg}(x-y)-\operatorname{tg}(x-y)=\operatorname{ctg}(x+y)-\operatorname{tg}(x+y)$$ $$\frac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}-\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}=\frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)}-\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}$$ $$\frac{\cos^2(x-y)-\sin^2(x-y)}{\sin(x-y)\cos(x-y)}=\frac{\cos^2(x+y)-\sin^2(x+y)}{\sin(x+y)\cos(x+y)}$$ $$\frac{\cos(2x-2y)}{\frac12\sin(2x-2y)}=\frac{\cos(2x+2y)}{\frac12\sin(2x+2y)}$$ $$\operatorname{ctg}(2x-2y)=\operatorname{ctg}(2x+2y)$$

Ovu jednadžbu lagano rješavamo: $$2x+2y=2x-2y+m\pi,\quad\text{za }m\in\mathbb Z,$$ odnosno $y=\frac{m\pi}4$, $m\in\mathbb Z$.

Uvjet koji smo odredili na početku prelazi u $x\ne\pm\frac{m\pi}4+\frac{k\pi}2$, odnosno $x\ne(\pm m+2k)\frac\pi4$, $m,k\in\mathbb Z$.

(Drugim riječima, za parno $m$, $x\ne\frac{l\pi}2$ ($l\in\mathbb Z$); a za neparno $m$, $x\ne\frac\pi4+\frac{l\pi}2$ ($l\in\mathbb Z$).)

Skup rješenja zadane jednadžbe prikazan je na slici.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, ne smije biti $x\pm y=\frac{k\pi}2$ ni za koji $k\in\mathbb Z$.

Zadanu jednadžbu transformiramo ovako: $$\operatorname{tg}(x+y)+\operatorname{ctg}(x-y)=\operatorname{tg}(x-y)+\operatorname{ctg}(x+y)$$ $$\operatorname{tg}(x+y)+\frac1{\operatorname{tg}(x-y)}=\operatorname{tg}(x-y)+\frac1{\operatorname{tg}(x+y)}$$

Množeći s $\operatorname{tg}(x+y)\operatorname{tg}(x-y)$ dobivamo $$\begin{gathered} \operatorname{tg}(x+y)(\operatorname{tg}(x+y)\operatorname{tg}(x-y)+1)\\ =\operatorname{tg}(x-y)(\operatorname{tg}(x+y)\operatorname{tg}(x-y)+1) \end{gathered}$$

Odavde slijedi $$\operatorname{tg}(x+y)=\operatorname{tg}(x-y)\quad\text{ili}\quad\operatorname{tg}(x+y)\operatorname{tg}(x-y)=-1.$$

Iz prve jednadžbe dobivamo $x+y=x-y+m\pi$, za $m\in\mathbb Z$, odnosno $y=\frac{m\pi}2$, za $m\in\mathbb Z$.

Zbog uvjeta mora biti $x\ne\pm\frac{m\pi}2+\frac{k\pi}2$, tj. $x\ne\frac{l\pi}2$ za sve $l\in\mathbb Z$.

Druga jednadžba $\operatorname{tg}(x+y)\operatorname{tg}(x-y)=-1$, redom je ekvivalentna s $$\begin{aligned} \operatorname{tg}(x+y)&=-\operatorname{ctg}(x-y),\\ \operatorname{tg}(x+y)&=\operatorname{ctg}(y-x),\\ \operatorname{tg}(x+y)&=\operatorname{tg}\left(\frac\pi2-(y-x)\right). \end{aligned}$$

Sada slijedi $x+y=\frac\pi2-y+x+m\pi$, za neki $m\in\mathbb Z$ i konačno $y=\frac\pi4+\frac{m\pi}2$, za $m\in\mathbb Z$.

Zbog uvjeta vrijedi $x\ne\pm\frac{m\pi}4+\frac{k\pi}2$, odnosno $x\ne\frac\pi4+\frac{l\pi}2$, za sve $l\in\mathbb Z$.

Rješenja zadane jednadžbe su sva rješenja prve i sva rješenja druge dobivene jednadžbe.

Skup rješenja zadane jednadžbe prikazan je na slici.

Napomena. Zadatak se može riješiti na mnogo načina.