2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da za $m<0$ broj $4\cdot3^{2m}$ nije cijeli broj, dok $n^2-5$ jest, pa u ovom slučaju jednadžba nema rješenje.

Za $m=0$ imamo $n^2=4\cdot1+5=9$, odakle slijedi $n=3$ ili $n=-3$.

U ovom slučaju imamo dva rješenja: $(0,3)$ i $(0,-3)$.

Za $m\ge1$, broj $4\cdot3^{2m}$ je djeljiv s 3 pa broj $n^2=4\cdot3^{2m}+5$ daje ostatak 2 pri dijeljenju s 3, no to nije moguće, budući da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 3 može dati samo ostatke 0 ili 1. Dakle, za $m\ge1$ jednadžba nema rješenja.

Drugo rješenje.

Iz početne jednadžbe slijedi $n^2-(2\cdot3^m)^2=5$, odnosno $$(n-2\cdot3^m)(n+2\cdot3^m)=5.$$

Kako su $n^2$ i 5 cijeli brojevi, da bi jednadžba bila zadovoljena i $4\cdot3^{2m}$ mora biti cijeli broj, a iz toga slijedi $m\ge0$.

Stoga su $n-2\cdot3^m$ i $n+2\cdot3^m$ cijeli brojevi.

Nadalje, vrijedi $n-2\cdot3^m<n+2\cdot3^m$ pa stoga imamo samo dvije mogućnosti: $$\begin{aligned}n-2\cdot3^m&=1\\n+2\cdot3^m&=5\end{aligned}$$ čije je rješenje $n=3,m=0$ i $$\begin{aligned}n-2\cdot3^m&=-5\\n+2\cdot3^m&=-1\end{aligned}$$ čije je rješenje $n=-3,m=0$.