4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo redom površine rombova $BCGF,CAIH,ABED$ s $P_a,P_b,P_c$, a kutove trokuta $ABC$ s $\alpha,\beta,\gamma$.

Tada je $$P_a=a^2\sin\beta,\quad P_b=b^2\sin\gamma,\quad P_c=c^2\sin\alpha.$$

Koristeći sinusov poučak $\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R$, pri čemu je $R$ polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$, dobivamo $$\begin{aligned} P_a+P_b+P_c&=a^2\sin\beta+b^2\sin\gamma+c^2\sin\alpha\\ &=\frac{a^2b}{2R}+\frac{b^2c}{2R}+\frac{c^2a}{2R}\\ &=\frac1{2R}(a^2b+b^2c+c^2a) \end{aligned}$$

Iz A-G nejednakosti slijedi $$a^2b+b^2c+c^2a\ge3\sqrt[3]{a^2b\cdot b^2c\cdot c^2a}=3abc$$ a odatle slijedi tvrdnja $$P_a+P_b+P_c=\frac1{2R}(a^2b+b^2c+c^2a)\ge\frac1{2R}\cdot3abc=\frac{3abc}{2R}=6P.$$

Jednakost se u korištenoj A-G nejednakosti postiže ako i samo ako je $a^2b=b^2c=c^2a$.

Ako je $a^2b=b^2c=c^2a$, onda vrijedi $a^2=bc$ i $ab=c^2$. Množenjem tih uvjeta dobivamo $a^3b=bc^3$, odakle slijedi $a=c$, a onda lako zaključujemo $a=b=c$.

Obratno, ako je $a=b=c$, onda je $a^2b=b^2c=c^2a$, pa je $P_a+P_b+P_c=6P$.

Drugo rješenje.

Označimo površine rombova s $P_a,P_b,P_c$ kao u prvom rješenju.

Vrijedi $P_a=P(BCGF)=|BF|\cdot v_c$, gdje je $v_c$ visina iz vrha $C$ u trokutu $ABC$.

Osim toga, $|BF|=|BC|=a$, pa je $P_a=av_c$.

Na sličan način je $P_b=bv_a$, $P_c=cv_b$.

Koristeći $av_a=bv_b=cv_c=2P$ dobivamo $$\begin{aligned} P_a+P_b+P_c&=av_c+bv_a+cv_b\\ &=a\cdot\frac{2P}c+b\cdot\frac{2P}a+c\cdot\frac{2P}b\\ &=2P\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right) \end{aligned}$$

Iz A-G nejednakosti slijedi: $$\frac ac+\frac ba+\frac cb\ge3\sqrt[3]{\frac ac\cdot\frac ba\cdot\frac cb}=3,$$ a odatle slijedi tvrdnja $$P_a+P_b+P_c=2P\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right)\ge2P\cdot3=6P.$$

Jednakost se u korištenoj A-G nejednakosti postiže ako i samo ako je $\frac ac=\frac ba=\frac cb$.

Odatle slijedi $a^2=bc$ i $ab=c^2$, pa množenjem dobivamo $a^3b=bc^3$, odakle slijedi $a=c$, i dalje lako zaključujemo $a=b=c$.

Obratno, ako je $a=b=c$, onda je $\frac ac+\frac ba+\frac cb=3$, pa je $$P_a+P_b+P_c=av_c+bv_a+cv_b=2P\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right)=6P.$$

Napomena. Postoje mnogi načini da se nejednakost $P_a+P_b+P_c\ge6P$ svede na nejednakost $\frac ac+\frac ba+\frac cb\ge3$ ili njoj ekvivalentnu $a^2b+b^2c+c^2a\ge3abc$. Npr. $$\begin{aligned} P_a+P_b+P_c&=a^2\sin\beta+b^2\sin\gamma+c^2\sin\alpha\\ &=\sin\alpha\left(a^2\cdot\frac ba+b^2\cdot\frac ca+c^2\right)\\ &=bc\sin\alpha\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right)=2P\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{P_a+P_b+P_c}P&=\frac{P_a}P+\frac{P_b}P+\frac{P_c}P\\ &=\frac{a^2\sin\beta}{\frac12ac\sin\beta}+\frac{b^2\sin\gamma}{\frac12ab\sin\gamma}+\frac{c^2\sin\alpha}{\frac12bc\sin\alpha}\\ &=2\left(\frac ac+\frac ba+\frac cb\right) \end{aligned}$$