7. Zadatak

Neka je $n\ge3$ prirodni broj. Kvadrat $ABCD$ je podijeljen na $n^2$ pravokutnika pravcima $p_1,\ldots,p_{n-1}$ paralelnim s pravcem $AB$ i pravcima $q_1,\ldots,q_{n-1}$ paralelnim s pravcem $BC$ . Stranice $AB$ i $CD$ leže redom na pravcima $p_0$ i $p_n$ , a stranice $BC$ i $AD$ redom na pravcima $q_0$ i $q_n$ . Pravac $p_i$ se nalazi između pravaca $p_{i-1}$ i $p_{i+1}$ , a pravac $q_i$ se nalazi između pravaca $q_{i-1}$ i $q_{i+1}$ , za sve $i=1,\ldots,n-1$ . Neka je $A_{i,j}$ pravokutnik omeđen pravcima $p_{i-1}$ , $p_i$ , $q_{j-1}$ i $q_j$ , za $1\le i,j\le n$ . Ako je poznato da pravokutnici $A_{i,j}$ i $A_{j,i}$ imaju jednake površine za svaki par $(i,j)$ takav da je $1\le i<j\le n$ , dokaži da je $A_{i,i}$ kvadrat za svaki $i=1,\ldots,n$ .

Rješenje

Prvo rješenje:

Duljinu stranice početnog kvadrata označimo sa $x$ .

Udaljenost pravaca $p_{i-1}$ i $p_i$ označimo sa $a_i$ , te udaljenost pravaca $q_{j-1}$ i $q_j$ sa $b_j$ . Želimo pokazati da je $a_i=b_i$ za svaki $i$ , $1\le i\le n$ .

Površinu pravokutnika određenog pravcima $p_{i-1}$ i $p_i$ , te stranicama početnog kvadrata (okomitim na te pravce) možemo izračunati na dva načina, kao produkt duljina stranica i kao sumu površina pravokutnika $A_{i,j}$ , $j=1,\ldots,n$ , tj.

xa_i=P(A_{i,1})+P(A_{i,2})+\cdots+P(A_{i,n}).

Analogno promatrajući pravokutnik određen pravcima $q_{i-1}$ i $q_i$ dobivamo

xb_i=P(A_{1,i})+P(A_{2,i})+\cdots+P(A_{n,i}).

Podjela kvadrata pravcima p_i i q_i

Prema uvjetu, desne strane u obje relacije su jednake, tj.

P(A_{i,1})+P(A_{i,2})+\cdots+P(A_{i,n})=P(A_{1,i})+P(A_{2,i})+\cdots+P(A_{n,i}).

Iz toga slijedi $xa_i=xb_i$ , odnosno $a_i=b_i$ .

Drugo rješenje:

Neka je $a_i$ širina, a $b_j$ visina pravokutnika $A_{i,j}$ za $1\le i,j\le n$ .

Fiksirajmo $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ . Želimo dokazati $a_i=b_i$ .

Prema uvjetu zadatka vrijedi $a_i b_j=a_j b_i$ za sve $1\le j\le n$ .

Zato možemo izraziti $a_j$ , za $j=1,\ldots,n$ , preko $a_i$ :

a_j=\frac{a_i}{b_i}\cdot b_j.

Ako je $x$ duljina stranice kvadrata, onda vrijedi $x=a_1+\cdots+a_n$ i $x=b_1+\cdots+b_n$ .

Sada možemo zaključiti

x=a_1+\cdots+a_n=\frac{a_i}{b_i}\cdot b_1+\cdots+\frac{a_i}{b_i}\cdot b_n=\frac{a_i}{b_i}(b_1+\cdots+b_n)=\frac{a_i}{b_i}\cdot x.

Odavde slijedi $a_i=b_i$ .