6. Zadatak

Neka je $ABCD$ pravokutnik sa središtem $O$ i neka su točke $P$ i $Q$ na dijagonali $AC$ takve da je $|AP|=|PQ|=|QC|$ . Ako pravac $PB$ siječe stranicu $AD$ u točki $M$ , a pravac $BQ$ siječe stranicu $CD$ u točki $N$ , dokaži da su površine trokuta $MPO$ i $NQO$ jednake.

Rješenje

Prvo rješenje:

Pravokutnik s točkama M, N, P, Q i O

Budući da je $\angle APM=\angle CPB$ i $\angle PAM=\angle PCB$ , trokuti $MAP$ i $BCP$ su slični.

Iz te sličnosti slijedi

\frac{|AM|}{|BC|}=\frac{|AP|}{|PC|}=\frac12.

Budući da je $|AD|=|BC|$ , vrijedi $|AM|:|AD|=1:2$ , tj. $M$ je polovište dužine $AD$ .

Analogno (zbog sličnosti trokuta $ABQ$ i $CNQ$ ), slijedi da je $N$ polovište dužine $DC$ .

Sada zaključujemo da je $MN$ srednjica trokuta $ACD$ , pa je $MN\parallel AC$ .

Prema tome visina $v_1$ iz vrha $N$ na stranicu $OQ$ je jednaka visini $v_2$ iz vrha $M$ na stranicu $OP$ .

Točka $O$ je polovište dužine $AC$ . Budući da je $|AP|=|CQ|$ , slijedi $|OP|=|OQ|$ .

Stoga je

P(MPO)=\frac{|OP|\cdot v_1}{2}=\frac{|OQ|\cdot v_2}{2}=P(NQO).

Napomena: Kako bi dokazao da je $MN\parallel AC$ , učenik ne mora zaključiti da su točke $M$ i $N$ polovišta. Zbog Talesovog teorema o proporcionalnosti dovoljno je koristeći navedene sličnosti zaključiti

\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|AM|}{|BC|}=\frac{|AP|}{|PC|}=\frac{|QC|}{|AQ|}=\frac{|NC|}{|AB|}.

Drugo rješenje:

Točka $O$ je polovište dužine $AC$ . Budući da je $|AP|=|CQ|$ , slijedi da je $O$ polovište dužine $PQ$ .

Točka $O$ je polovište dužine $BD$ , pa je $AO$ težišnica trokuta $ABD$ .

Budući da je $|OP|=\frac12|PQ|=\frac12|AP|$ , zaključujemo da je $|OP|:|AP|=1:2$ .

Dakle, točka $P$ dijeli težišnicu $AO$ u omjeru $2:1$ , pa je $P$ težište trokuta $ABD$ .

Budući da $P$ leži na dužini $BM$ , zaključujemo da je $BM$ također težišnica, tj. da je $M$ polovište stranice $AD$ .

Analogno zaključujemo da je $N$ polovište stranice $CD$ .

Kao u prvom rješenju, zaključujemo da je $MN\parallel AC$ , da su visine u trokutima $MPO$ i $NQO$ jednakih duljina, te dobivamo $P(MPO)=P(NQO)$ .

Napomena: Pokažimo još jedan način za vidjeti da su točke $M$ i $N$ redom polovišta stranica $AD$ i $CD$ .

Trokuti $APD$ i $CQB$ su sukladni jer su centralnosimetrična slika jedan drugoga obzirom na točku $O$ (alternativno, sukladnost možemo dokazati po S–K–S teoremu).

Zbog sukladnosti slijedi $\angle CBN=\angle ADP$ , pa je $BN\parallel DP$ , tj. $QN\parallel DP$ .

Budući da je $Q$ polovište dužine $PC$ , a $QN\parallel DP$ , slijedi da je $QN$ srednjica u trokutu $CDP$ , tj. $N$ je polovište stranice $DC$ .

Analogno, točka $M$ je polovište stranice $AD$ .