3. Zadatak

Prvo rješenje:

Neka je $w=a+bi$ za realne $a$ i $b$. Uvjet $|w|=1$ je ekvivalentan sa $a^2+b^2=1$.

Broj $z$ možemo zapisati na sljedeći način:

$$z=\frac{2}{1-a-bi}=\frac{2}{1-a-bi}\cdot\frac{1-a+bi}{1-a+bi}=\frac{2(1-a+bi)}{(1-a)^2+b^2}.$$

Realni dio broja $z$ iznosi

$$\frac{2(1-a)}{(1-a)^2+b^2}.$$

Iskoristimo li uvjet $a^2+b^2=1$, dobivamo

$$\operatorname{Re}z=\frac{2(1-a)}{(1-a)^2+b^2}=\frac{2(1-a)}{1-2a+a^2+b^2}=\frac{2(1-a)}{1-2a+1}=1.$$

Drugo rješenje:

Budući da je $|w|=1$, vrijedi $\overline{w}=\frac1w$. Zato je

$$\overline z=\frac{2}{1-\overline w}=\frac{2}{1-\frac1w}=\frac{2w}{w-1}.$$

Realni dio broja $z$ možemo izračunati prema formuli $\operatorname{Re}z=\frac12(z+\overline z)$.

Konačno računamo

$$\operatorname{Re}z=\frac12\left(\frac{2}{1-w}+\frac{2w}{w-1}\right)=\frac12\cdot\frac{2-2w}{1-w}=1.$$

Treće rješenje:

Izrazimo $w$ preko $z$:

$$z=\frac{2}{1-w}\ \Longrightarrow\ z-zw=2\ \Longrightarrow\ w=\frac{z-2}{z}.$$

Primijenimo li modul na relaciju $w=\frac{z-2}{z}$, dobivamo

$$1=|w|=\frac{|z-2|}{|z|}.$$

Dakle $|z-2|=|z|$, što znači da $z$ leži na simetrali dužine određene točkama $0$ i $2$ u kompleksnoj koordinatnoj ravnini.

Ta simetrala je upravo pravac $\{z\in\mathbb C\mid\operatorname{Re}z=1\}$, odnosno $\operatorname{Re}z=1$.