4. Zadatak

Prvo rješenje.

Koristit ćemo oznaku $P(XYZ)$ za površinu trokuta $XYZ$ i $P(XYZW)$ za površinu četverokuta $XYZW$.

Vrijedi:

$$P(EBC)=P(FCD)=\frac14P(ABCD).$$

Zato je

$$\frac12P(APB)+P(BPC)=\frac14P(ABCD)\qquad(1)$$

i

$$\frac12P(BPC)+P(CPD)=\frac14P(ABCD).\qquad(2)$$

Kako je $ABCD$ paralelogram vrijedi i

$$P(APB)+P(CPD)=\frac12P(ABCD)\qquad(3)$$

Iz (1), (2) i (3) dobivamo

$$\begin{aligned} P(APB)&=\frac3{10}P(ABCD)\\ P(BPC)&=\frac1{10}P(ABCD)\\ P(CPD)&=\frac15P(ABCD). \end{aligned}$$

Odavde slijedi

$$P(DPA)=P(ABCD)-P(APB)-P(BPC)-P(CPD)=\frac25P(ABCD).$$

Dakle,

$$P(BPC):P(CPD):P(APB):P(DPA)=1:2:3:4.$$

Drugo rješenje.

Neka je $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|PM|=m$ i $|PN|=n$.

Promotrimo parove sličnih trokuta.

Iz $\triangle PMC\sim\triangle EBC$ slijedi

$|PM|:|MC|=|EB|:|BC|$, odnosno $m:n=\dfrac a2:b$.

Iz $\triangle DNP\sim\triangle DCF$ slijedi

$|DN|:|NP|=|DC|:|CF|$, odnosno $(a-m):n=a:\dfrac b2$.

Sada imamo

$$\frac ab=\frac{2m}n=\frac{a-m}{2n},$$

pa slijedi $m=\dfrac15a$, $n=\dfrac25b$.

Označimo s $P$ površinu danog paralelograma, a s $v_a$, $v_b$ njegove visine, tako da vrijedi $P=av_a=bv_b$.

Visina trokuta $ABP$ odnosi se prema visini $v_a$ kao $|MB|$ prema $|BC|$, stoga vrijedi

$$P(ABP)=\frac{|AB|\cdot d(P,AB)}2=\frac12\cdot a\cdot\frac{(b-n)v_a}b=\frac a2\cdot\frac35\cdot\frac Pa=\frac3{10}P.$$

Slično,

$$P(BCP)=\frac{|BC|\cdot d(P,BC)}2=\frac12\cdot b\cdot\frac{mv_b}a=\frac b2\cdot\frac15\cdot\frac Pb=\frac1{10}P.$$ $$P(CDP)=\frac{|CD|\cdot d(P,CD)}2=\frac12\cdot a\cdot\frac{nv_a}b=\frac a2\cdot\frac25\cdot\frac Pa=\frac15P.$$ $$P(DAP)=\frac{|DA|\cdot d(P,DA)}2=\frac12\cdot b\cdot\frac{(a-m)v_b}a=\frac b2\cdot\frac45\cdot\frac Pb=\frac25P.$$

Stoga je $P(BCP):P(CDP):P(ABP):P(DAP)=1:2:3:4$.

Napomena. Zadatak se može riješiti i analitičkom geometrijom.