5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo: $|AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EA|=a$, $|A_1B_1|=|B_1C_1|=|C_1D_1|=|D_1E_1|=|E_1A_1|=x$. Treba odrediti omjer $\dfrac xa$.

Neka je $y=|AC_1|=|AD_1|=|BD_1|=|BE_1|=|CE_1|=|CA_1|=|DA_1|=|DB_1|=|EB_1|=|EC_1|$.

Kako je $EC\parallel AB$, trokuti $ABD$ i $A_1B_1D$ su slični, a kako je još i $AC\parallel DE$, $BE\parallel DC$, i trokuti $ABD_1$ i $CED$ su slični.

Sada imamo:

$$\triangle ABD\sim\triangle A_1B_1D\quad\Rightarrow\quad|AB|:|AD|=|A_1B_1|:|A_1D|\quad\Rightarrow\quad a:(x+2y)=x:y\qquad(1)$$ $$\triangle ABD_1\sim\triangle CED\quad\Rightarrow\quad|AB|:|AD_1|=|CE|:|CD|\quad\Rightarrow\quad a:y=(x+2y):a\qquad(2)$$

Iz (1) i (2) slijedi $\dfrac xy=\dfrac ya$.

Kako je $\angle ABE_1=72^\circ$ i $\angle E_1AB=36^\circ$ trokut $ABE_1$ je jednakokračan tj. $|AB|=|AE_1|$. Dakle, $a=x+y$.

Sada iz sustava jednadžbi $a=x+y$, $\dfrac xy=\dfrac ya$ trebamo odrediti $\dfrac xa$.

Dobivamo: $y=a-x$, $ax=y^2\quad\Rightarrow\quad ax=(a-x)^2$.

Rješenja kvadratne jednadžbe $x^2-3ax+a^2=0$ su $x=\dfrac{a(3\pm\sqrt5)}2$.

Kako je $x<a$, slijedi $x=\dfrac{a(3-\sqrt5)}2$, odnosno $\dfrac xa=\dfrac{3-\sqrt5}2$.

Drugo rješenje.

Uvedimo oznake kao u prvom rješenju.

Uočimo da je $\triangle ABD\sim\triangle A_1B_1D$,

pa vrijedi $|AB|:|A_1B_1|=|BD|:|B_1D|$, tj. $a:x=(x+2y):y$.

Kako je $\triangle A_1B_1D\sim\triangle DB_1C$ (kutovi su $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$)

slijedi

$$\begin{aligned}|A_1B_1|:|B_1D|&=|DB_1|:|B_1C|\\x:y&=y:(x+y),\end{aligned}$$

odakle dobivamo (omjer zlatnog reza) $\dfrac xy=\dfrac{\sqrt5-1}2$.

Sada je

$$\frac ax=\frac{x+2y}y=\frac xy+2=\frac{\sqrt5-1}2+2=\frac{\sqrt5+3}2.$$