3. Zadatak

Neka je $z=a+bi$. Tada je

$$z^3=(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i.$$

Ovaj kompleksan broj je realan ako i samo ako je $3a^2b-b^3=b(3a^2-b^2)=0$,

tj. mora biti $b=0$

ili $b=a\sqrt3$

ili $b=-a\sqrt3$.

Budući da je $\operatorname{Re}z^3>27$, imamo $a^3-3ab^2>27$ $\qquad(1)$

Moramo promatrati ova dva slučaja:

$1^\circ$ Za $b=0$ iz (1) je $a^3>27$, odakle je $a>3$;

$2^\circ$ Za $b=\pm a\sqrt3$ je $b^2=3a^2$, pa se iz (1) dobije $a<-\dfrac32$.

Traženi brojevi su:

$z=a$, gdje je $a\in\mathbb R$ i $a>3$;

$z=a(1\pm i\sqrt3)$, gdje je $a\in\mathbb R$ i $a<-\dfrac32$.