1. Zadatak

Kako je niz $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ aritmetički, svaki njegov član nakon prvog jednak je aritmetičkoj sredini njegovog prethodnika i sljedbenika. Za sve $n\in\mathbb N$ slijedi

$$b_{n+1}=\frac{b_n+b_{n+2}}2,$$ $$a_{n+2}-\sum_{i=1}^{n+1}a_i =\frac12\left(a_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}a_i+a_{n+3}-\sum_{i=1}^{n+2}a_i\right),$$ $$2a_{n+2}-a_{n+1}-a_{n+3} =2\sum_{i=1}^{n+1}a_i-\sum_{i=1}^{n}a_i-\sum_{i=1}^{n+2}a_i,$$ $$(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+3}-a_{n+2}) =\left(\sum_{i=1}^{n+1}a_i-\sum_{i=1}^{n}a_i\right) -\left(\sum_{i=1}^{n+2}a_i-\sum_{i=1}^{n+1}a_i\right).$$

Korištenjem definicije niza $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ te činjenice da se parovi suma u zagradama na desnoj strani razlikuju za po jedan pribrojnik, dalje dobivamo

$$c_n-c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n+2}=-c_n,$$ $$c_{n+1}=2c_n.$$

Kako gornja jednakost vrijedi za sve $n\in\mathbb N$, zaključujemo da je niz $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ geometrijski s kvocijentom $2$.