3. Zadatak
Za prirodan broj neka je broj uređenih trojki prirodnih brojeva za koje postoji trokut sa stranicama duljina , i čiji je opseg jednak .
a) Dokaži da je .
b) Dokaži da je .
Nazovimo uređenu trojku prirodnih brojeva dozvoljenom ako postoji trokut sa stranicama duljina , i . Svaka uređena trojka je dozvoljena ako i samo vrijede nejednakosti trokuta:
Nad dozvoljenim trojkama definiramo operaciju uvećavanja tako da svakom članu trojke pridodamo broj , odnosno dobijemo trojku .
Dokažimo da ako je trojka dozvoljena, da je tada i trojka brojeva dobivena operacijom uvećavanja ponovno dozvoljena. U to se možemo uvjeriti jer i za tu uvećanu trojku vrijede nejednakosti trokuta:
(analogno i preostale dvije nejednakosti).
Zato za svaki prirodan broj vrijedi nejednakost : za svaku od dozvoljenih trojki kojoj je suma članova jednaka postoji jedna dozvoljena trojka kojoj je suma članova dobivena operacijom uvećavanja od te trojke, a te sve trojke su međusobno različite.
Da dokažemo , dovoljno je pokazati da postoji jedna dozvoljena trojka kojoj je suma članova , a nije dobivena operacijom uvećavanja. Takva trojka : za nju vrijede sve nejednakosti trokuta pa je dozvoljena, a nije dobivena operacijom uvećavanja od neke trojke prirodnih brojeva jer joj je treći član jednak .
Da dokažemo , potrebno je dokazati da operacijom uvećavanja od trojki kojima je suma možemo dobiti sve dozvoljene trojke kojima je suma . Pretpostavimo da postoji neka trojka takva da je , a nije dobivena operacijom uvećavanja. Prvo dokažimo da nijedan od članova , i ne može biti jednak . U suprotnom, ako bez smanjenja općenitosti vrijedi , iz nejednakosti trokuta slijedi
odakle je nužno . No, tada je neparan broj, pa nije jednak broju .
Kako je broj paran broj veći od nule, on je veći ili jednak , pa vrijedi , odnosno
Analogno možemo dokazati i druge dvije nejednakosti, pokazujući da je zaista svaka dozvoljena trojka kojoj je suma članova jednaka nastala operacijom uvećavanja dozvoljene trojke sume članova , što dokazuje .