1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $f(0)=a$ i $f(1)=b$. Uvrštavanjem $x=0$ u početnu jednadžbu slijedi

$$b=(a-1)f(y)+2.$$

Za $a\ne1$ slijedi da je $f(y)=\frac{b-2}{a-1}$ za svaki $y\in\mathbb R$. Uvrštavanjem u početnu jednadžbu vidimo da konstantna funkcija nije rješenje.

Znači da mora biti $a=1$, pa je $b=2$. Ako sad uvrstimo $y=0$ u početnu jednadžbu, dobijemo

$$b=f(x)\cdot a-a-x+2,\qquad\text{tj.}\qquad 2=f(x)-x+1.$$

Slijedi $f(x)=x+1$. Provjerom vidimo da je to zaista rješenje.

Drugo rješenje.

Uvrštavanjem $x=0$ u danu jednadžbu dobijemo

$$f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2,$$

tj.

$$f(0)f(y)=f(y)+f(1)-2,\qquad\forall y\in\mathbb R,$$

a uvrštavanjem $y=0$ dobijemo

$$f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,$$

tj.

$$f(0)f(x)=f(0)+f(1)+x-2,\qquad\forall x\in\mathbb R.$$

Slijedi da je

$$f(x)+f(1)-2=f(0)+f(1)+x-2,\qquad\forall x\in\mathbb R,$$

odnosno $f(x)=x+f(0)$.

Uvrstimo li to u početnu jednadžbu, dobijemo

$$xy+1+f(0)=xy+f(0)\cdot x+f(0)\cdot y+f(0)^2-y-f(0)-x+2,$$

odnosno faktoriziranjem

$$(f(0)-1)(f(0)+x+y-1)=0.$$

Uvrštavanjem $x=y=0$ u gornju jednadžbu slijedi da je $f(0)=1$ i, konačno,

$$f(x)=x+1,\qquad\forall x\in\mathbb R.$$

Provjerom vidimo da je to zaista rješenje.