3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\varphi=\angle CBD=\angle DBA$. Iz trokuta $ABD$ imamo:

$$\begin{aligned} \angle ADB&=180^\circ-\angle BAD-\angle DBA\\ &=180^\circ-(\angle BAC+\angle CAD)-\angle DBA\\ &=180^\circ-(48^\circ+66^\circ)-\varphi\\ &=66^\circ-\varphi. \end{aligned}$$

Označimo li na dijagonali $BD$ točku $E$ takvu da je $\angle EAD=\angle ADE=\angle ADB=66^\circ-\varphi$, zaključujemo da je trokut $EDA$ jednakokračan s osnovicom $DA$ te da je $\angle CAE=\varphi=\angle DBA$.

Također je $\angle CAE=\varphi=\angle CBD=\angle CBE$ pa je četverokut $ABCE$ tetivan. Time je $\angle ECA=\angle EBA=\angle DBA=\varphi$, a trokut $EAC$ jednakokračan s osnovicom $AC$.

Budući da je $|ED|=|EA|=|EC|$, točka $E$ je središte kružnice opisane trokutu $ACD$ i po teoremu o obodnom i središnjem kutu je $\angle CED=2\angle CAD=132^\circ$.

Konačno je

$$\angle BDC=\angle EDC=\angle DCE=\frac12(180^\circ-\angle CED)=24^\circ.$$

Drugo rješenje.

Neka je točka $G$ presjek opisane kružnice trokuta $DAC$ i dijagonale $BD$. Tada je

$$\angle BGC=180^\circ-\angle CGD=180^\circ-\angle CAD=180^\circ-66^\circ=114^\circ=\angle BAD.$$

Budući da je $\angle CBG=\angle GBA$, slijedi da trokuti $CGB$ i $DAB$ imaju iste kutove, pa je $\angle GCB=\angle ADB$.

Četverokut $AGCD$ je tetivan, pa zaključujemo da je $\angle ACG=\angle ADG=\angle GCB$. Dakle, $G$ leži na simetrali kuta $\angle ACB$, pa je $G$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$.

Budući da je četverokut $AGCD$ tetivan i $AG$ je simetrala kuta $\angle BAC$, slijedi da je

$$\angle BDC=\angle GDC=\angle GAC=\frac12\angle BAC=24^\circ.$$

Treće rješenje.

Neka je $E$ proizvoljna točka na pravcu $AB$ takva da je $A$ između $B$ i $E$. Budući da je

$$\angle DAE=180^\circ-\angle BAC-\angle CAD=66^\circ,$$

slijedi da je pravac $AD$ simetrala vanjskog kuta trokuta $ABC$ u točki $A$.

Točka $D$ leži i na simetrali unutarnjeg kuta $\angle CBA$, pa zaključujemo da je $D$ središte kružnice pripisane trokutu $ABC$ i da je $CD$ simetrala vanjskog kuta u vrhu $C$.

Označimo $\angle CBA=\angle CBE=2x$. Slijedi

$$\angle DCA=\frac12(\angle BAC+\angle CBA)=\frac12(48^\circ+2x)=24^\circ+x.$$

Neka je $S$ sjecište dijagonala $AC$ i $BD$. Tada je $\angle DSA=\angle BAC+\angle DBA=48^\circ+x$ i vrijedi

$$\angle BDC=\angle DSA-\angle DCA=(48^\circ+x)-(24^\circ+x)=24^\circ.$$