2. Zadatak

Zapišemo li jednadžbu u obliku $2^m p^2=n^5-1$ i faktoriziramo desnu stranu prema formuli za razliku petih potencija, dobivamo

$$2^m p^2=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1).$$

Faktor $n^4+n^3+n^2+n+1$ je neparan broj, pa je $n-1$ djeljivo s $2^m$. Također slijedi da je $p$ neparan broj.

S druge strane, kako je $n$ prirodan, očito je $n^4+n^3+n^2+n+1>n-1$. Stoga $p$ ne može dijeliti $n-1$, jer bi onda $n-1$ bilo barem $2^m p$, a $n^4+n^3+n^2+n+1$ bi bio najviše $p$, što je manje od $2^m p$. Dakle, vrijedi

$$2^m+1=n,\qquad p^2=n^4+n^3+n^2+n+1.$$

Uočimo da je druga jednadžba ekvivalentna sljedećima:

$$n^4+n^3+n^2+n=p^2-1,$$ $$n(n+1)(n^2+1)=(p-1)(p+1).$$

Uvrštavanjem $n=2^m+1$ u zadnju jednadžbu dobivamo

$$(2^m+1)(2^{2m}+2^{m+1}+2)(2^m+2)=(p-1)(p+1),$$

odnosno

$$4(2^m+1)(2^{2m-1}+2^m+1)(2^{m-1}+1)=(p-1)(p+1).$$

Budući da je $p$ neparan, desna strana je umnožak dva uzastopna parna broja pa je djeljiva s 8. Lijeva nije djeljiva s 8, osim ako je $m=1$. Jedino rješenje je stoga $m=1$, $n=3$, $p=11$.