3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo $\angle ADB=\varphi$.

Promatranjem unutarnjih kutova trokuta $ABE$ dobivamo

$$\angle AEB=180^\circ-\angle BAE-\angle ABE=180^\circ-20^\circ-60^\circ=100^\circ.$$

Primjenom poučka o sinusima u trokutu $ABE$ slijedi

$$\frac{|BE|}{|AB|}=\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle AEB}=\frac{\sin20^\circ}{\sin100^\circ}=\frac{\sin20^\circ}{\sin80^\circ},$$

gdje smo u zadnjoj jednakosti iskoristili $\sin x=\sin(180^\circ-x)$.

Promotrimo sada trokut $BED$. Vrijedi $\angle BED=180^\circ-\angle BEA=180^\circ-100^\circ=80^\circ$ pa je zato $\angle EBD=180^\circ-\angle BED-\angle BDE=180^\circ-100^\circ-\varphi=100^\circ-\varphi$. Ponovnom primjenom poučka o sinusima dobivamo

$$\frac{|BE|}{|DE|}=\frac{\sin\angle BDE}{\sin\angle EBD}=\frac{\sin\varphi}{\sin(100^\circ-\varphi)}.$$

Budući da je prema uvjetu zadatka $|DE|=|AB|$, vrijedi

$$\frac{\sin20^\circ}{\sin80^\circ}=\frac{|BE|}{|AB|}=\frac{|BE|}{|DE|}=\frac{\sin\varphi}{\sin(100^\circ-\varphi)}.$$

Zato je

$$\sin20^\circ\sin(100^\circ-\varphi)=\sin80^\circ\sin\varphi.$$

Primjenom formule pretvorbe umnoška sinusa slijedi

$$\cos(\varphi-80^\circ)-\cos(120^\circ-\varphi)=\cos(80^\circ-\varphi)-\cos(80^\circ+\varphi),$$

pa korištenjem parnosti funkcije kosinus slijedi

$$\cos(120^\circ-\varphi)=\cos(80^\circ+\varphi).$$

Budući da je $\varphi$ unutarnji kut trokuta $ABD$, njegova je mjera manja od mjere vanjskog kuta $\angle AEB=100^\circ$. Zato su obje mjere $120^\circ-\varphi$ i $80^\circ+\varphi$ između $0^\circ$ i $180^\circ$. Dakle, da bi im kosinusi imali jednaku vrijednost, jedino je moguće da su te mjere jednake. Dobivamo $120^\circ-\varphi=80^\circ+\varphi$, odakle je $\varphi=20^\circ$.

Drugo rješenje.

Neka je točka $F$ na dužini $\overline{DE}$ takva da je $\angle EBF=20^\circ$.

Imamo

$$\begin{aligned} \angle BFA&=180^\circ-\angle BAF-\angle ABF=180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ,\\ \angle BEF&=180^\circ-\angle EBF-\angle BFE=180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ, \end{aligned}$$

pa je zato trokut $BEF$ jednakokračan, te je $|BE|=|BF|$.

Jednako tako, zbog $\angle BFA=\angle FBA=80^\circ$ slijedi i da je trokut $ABF$ jednakokračan, $|AB|=|AF|$.

Promotrimo sada trokute $ABF$ i $DEB$. Zbog $|AB|=|DE|$, $|BF|=|EB|$ i $\angle ABF=\angle DEB=80^\circ$ slijedi da su ti trokuti sukladni prema S-K-S poučku o sukladnosti. Zato imamo

$$\angle ADB=\angle EDB=\angle BAF=20^\circ.$$