2. Zadatak

Pretpostavimo da postoje takvi realni brojevi $x,y\in\left\langle0,\frac{\pi}{2}\right\rangle$. Neka su $n$ i $m$ prirodni brojevi takvi da je

$$n=\frac1{\sin x}\qquad\text{i}\qquad m=\frac1{\sin y}.$$

Budući da su $\sin x$, $\sin y$ veći od nule i manji od $1$, zaključujemo da su $n$ i $m$ veći od $1$.

Kako je broj $\frac1{\sin(x+y)}$ prirodan, njegova je recipročna vrijednost racionalan broj. Prema adicijskoj formuli vrijedi

$$\begin{aligned} \sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\ &=\sin x\cdot\sqrt{1-\sin^2y}+\sqrt{1-\sin^2x}\cdot\sin y\\ &=\frac1n\cdot\frac{\sqrt{m^2-1}}m+\frac{\sqrt{n^2-1}}n\cdot\frac1m =\frac{\sqrt{m^2-1}+\sqrt{n^2-1}}{mn}. \end{aligned}$$

Brojnik tog izraza

$$q=\sqrt{m^2-1}+\sqrt{n^2-1}$$

nužno je racionalan broj. Kvadriranjem jednadžbe

$$\sqrt{n^2-1}=q-\sqrt{m^2-1}$$

dobivamo

$$n^2-1=q^2-2q\sqrt{m^2-1}+m^2-1,$$

odakle zaključujemo da je nužno $\sqrt{m^2-1}$ racionalan broj.

Dokažimo da taj broj ne može biti racionalan. Pretpostavimo suprotno, postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je

$$\sqrt{m^2-1}=\frac ab.$$

Neka su bez smanjenja općenitosti $a$ i $b$ relativno prosti. Kvadriranjem dobivamo

$$m^2-1=\frac{a^2}{b^2}.$$

Kako je broj s lijeve strane prirodan, takav mora biti i s desne, što je moguće samo ako $b^2\mid a^2$. Kako su $a$ i $b$ relativno prosti, to je moguće samo ako je $b=1$. Dobivamo jednakost

$$m^2-1=a^2.$$

Kako je $(m-1)^2<m^2-1<m^2$ (prva nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve $m$ veće od $1$), broj $m^2-1$ ne može biti potpun kvadrat čime dolazimo do kontradikcije.

Dakle, brojevi

$$\frac1{\sin x},\qquad \frac1{\sin y}\qquad\text{i}\qquad \frac1{\sin(x+y)}$$

ne mogu istodobno biti prirodni ni za koje $x,y\in\left\langle0,\frac{\pi}{2}\right\rangle$.