4. Zadatak

Prema uvjetu zadatka, izraz $a+b$ dijeli $ab+1$, te dijeli i broj $a(a+b)$, pa dijeli i njihovu razliku:

$$a+b\mid ab+1-a(a+b)=ab+1-a^2-ab=1-a^2.$$

Analogno:

$$b-a\mid ab-1-a(b-a)=ab-1-ab+a^2=a^2-1.$$

Zaključujemo da oba broja $m:=b+a$ i $n:=b-a$ dijele prirodan broj $a^2-1$, pa to vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik tih brojeva $V(m,n)$. Posebno, vrijedi

$$V(m,n)\leq a^2-1.$$

Primijetimo da su brojevi $a$ i $b$ relativno prosti. U suprotnom, postoji $d>1$ koji dijeli $a$ i $b$, pa dijeli i njihovu sumu $a+b$, a prema uvjetu zadatka dijeli i $ab+1$. Kako $d\mid ab$, dobivamo $d\mid1$, što je u kontradikciji s $d>1$.

Kako je $D(m,n)=D(a+b,a-b)=D(a+b,2a)$, te kako su $a$ i $b$ relativno prosti, taj djelitelj može biti jednak $1$ ili $2$. Iz relacije $D(m,n)\cdot V(m,n)=mn$ zaključujemo da za najmanji zajednički višekratnik brojeva $V(m,n)$ vrijedi

$$V(m,n)=\frac{mn}{D(m,n)}\geq\frac{mn}{2}.$$

Korištenjem dviju dobivenih nejednakosti dobivamo

$$\frac{(a+b)(b-a)}2=\frac{mn}{2}\leq V(m,n)\leq a^2-1$$

odakle je $b^2-a^2\leq2(a^2-1)<2a^2$, odnosno $b^2<3a^2$. Kako su $a$ i $b$ prirodni, vrijedi $b<a\sqrt3$, što je i trebalo dokazati.