2. Zadatak

Prvo rješenje.

Za nultočku $x_1$ polinoma $P$ vrijedi

$$\begin{aligned} x_1^3-3x_1+1&=0,\\ x_1^3-3x_1&=-1,\\ x_1^2-3&=-\frac1{x_1},\\ \frac1{x_1^2-3}&=-x_1. \end{aligned}$$

Analogno vrijedi i za $x_2$ i $x_3$, pa za traženi izraz vrijedi

$$\frac1{x_1^2-3}+\frac1{x_2^2-3}+\frac1{x_3^2-3}=-(x_1+x_2+x_3).$$

Po Vièteovom formulama je $x_1+x_2+x_3=0$, pa je taj izraz jednak nuli.

Drugo rješenje.

Svedimo izraz na zajednički nazivnik:

$$\begin{aligned} \frac1{x_1^2-3}+\frac1{x_2^2-3}+\frac1{x_3^2-3} &=\frac{(x_1^2-3)(x_2^2-3)+(x_1^2-3)(x_3^2-3)+(x_2^2-3)(x_3^2-3)}{(x_1^2-3)(x_2^2-3)(x_3^2-3)}\\ &=\frac{x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2-6(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+27}{(x_1^2-3)(x_2^2-3)(x_3^2-3)}. \end{aligned}$$

Po Vièteovim formulama vrijedi

$$x_1+x_2+x_3=0,$$ $$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3.$$

Koristeći te formule, dobivamo

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=6,$$ $$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=9.$$

Zato za brojnik traženog izraza vrijedi

$$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2-6(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+27=9-6\cdot6+27=0,$$

pa je traženi izraz jednak $0$.