4. Zadatak

Korištenjem uvjeta $a+b+c=1$ i nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine slijedi

$$\frac a{a+b^2} =\frac a{a(a+b+c)+b^2} =\frac a{a^2+b^2+ab+ac} \le\frac a{2ab+ab+ac} =\frac1{3b+c}.$$

Primjenom nejednakosti između harmonijske i aritmetičke sredine slijedi

$$\frac4{\frac3b+\frac1c} =\frac4{\frac1b+\frac1b+\frac1b+\frac1c} \le\frac{b+b+b+c}{4} =\frac{3b+c}{4},$$

odnosno

$$\frac1{3b+c}\le\frac1{16}\left(\frac3b+\frac1c\right).$$

Zaključujemo da je

$$\frac a{a+b^2}\le\frac1{16}\left(\frac3b+\frac1c\right).$$

Analogno je

$$\frac b{b+c^2}\le\frac1{16}\left(\frac3c+\frac1a\right) \quad\text{i}\quad \frac c{c+a^2}\le\frac1{16}\left(\frac3a+\frac1b\right).$$

Na kraju zbrajanjem gornjih nejednakosti slijedi

$$\frac a{a+b^2}+\frac b{b+c^2}+\frac c{c+a^2} \le\frac1{16}\left(\frac4a+\frac4b+\frac4c\right) =\frac14\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).$$