4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $E$ presjek pravaca $BH$ i $AC$.

Tada je

$$\angle SBD=90^\circ-\frac12\angle DSB=90^\circ-\angle PHE=\angle EPH=180^\circ-\angle APD.$$

Ako je $M$ polovište dužine $AD$, onda su $M$, $Q$ i $S$ kolinearni i vrijedi

$$\angle DQM=\frac12\angle AQD=180^\circ-\angle APD=\angle SBD.$$

Dakle, $BDQS$ je tetivan četverokut.

Drugo rješenje.

Označimo $\alpha=\angle CAB$ i $\beta=\angle ABC$.

Budući da je $S$ središte kružnice opisane trokutu $ABD$, po teoremu o središnjem i obodnom kutu vrijedi $\angle ASD=2\beta$.

Dužina $QS$ je spojnica središta dviju zadanih kružnica, pa je pravac $QS$ okomit na zajedničku tetivu $AD$ tih kružnica. Zato je $\angle QSD=\frac12\angle ASD=\beta$.

Zaključujemo da je dovoljno dokazati da točka $Q$ leži na $AB$ jer je tada $\angle QBD=\beta=\angle QSD$.

Neka je $Q'$ presjek simetrale dužine $AP$ i dužine $AB$. Tada u jednakokračnom trokutu $APQ'$ vrijedi $\angle AQ'P=180^\circ-2\alpha$.

Zbog tetivnosti četverokuta $ABDH$ vrijedi $\angle ADH=\angle ABH=90^\circ-\alpha$, pa zaključujemo da je $D$ na kružnici sa središtem u $Q'$ i polumjerom $|Q'P|=|Q'A|$, tj. $Q'=Q$. Dakle, $Q$ leži na $AB$ i dokaz je gotov.